前辅文
第一章 空间区域中的几何. 基本概念
§1. 坐标系
1. 空间的笛卡儿坐标
2. 坐标变换
§2. 欧氏空间
1. 欧氏空间中的曲线
2. 二次型和向量
§3. 黎曼和伪黎曼空间
1. 黎曼度量
2. 闵可夫斯基度量
§4. 欧氏空间的最简单的变换群
1. 区城的变换群
2. 平面的变换
3. 三维欧氏空间的运动
4. 变换群的其他例子
§5. 弗莱纳公式
1. 平面曲线
2. 空间曲线. 曲率和挠率
3. 依赖于参数的正交变换
§6. 伪欧几里得空间
1. 狭义相对论的最简单概念
2. 洛伦兹变换
第二章 曲面论
§7. 空间曲面的几何
1. 曲面上的坐标
2. 切平面
3. 曲面上的度量
4. 曲面的面积
§. 第二基本型
1. 欧氏空间中曲面上曲线的曲率
2. 二次型偶对的不变量
3. 第二基本型的性质
§9. 球面的度量
§10. 在伪欧氏空间中的类空曲面
1. 伪球面
2. R13中类空曲面的曲率
§11. 几何中的复语言
1. 复坐标和实坐标
2. 埃尔米特内积
3. 复变换群的例子
§12. 解析函数
1. 长度元和函数微分的复表示
2. 复坐标变换
3. 复空间中的曲面
§13. 曲面度量的共形形式
1. 等温坐标、共形坐标下的高斯曲率
2. 在共形形式下的球面度量和罗巴切夫斯基平面的度量
3. 常曲率曲面
§14. 作为N维空间中的曲面变换群
1. 在单位元的邻城内的坐标
2. 矩阵的指数映射
3. 四元数
§15. 高维欧氏空间和伪欧氏空间的共形变换
第三章 张量. 代数理论
§16. 张量的例子
1. 数值函数的梯度
2. 黎曼度量
§17. 张量的-般定义。
1. 任意阶张量的分量的变换规律
2. 张量的代数运算
§18. (0,k)型张量
1. 表下指标张量为微分形式
2. (0,k)型反称张量
3. 微分形式的外积. 外代数
4. (k,0)型反称张量(多向量). 对于反交换变量的积分
§19. 黎曼和伪黎曼空间中的张量
1. 升标和降标
2. 二次型的特征值
3. *算子
4. 欧氏空间的张量
§20. 晶体群和平面与空间旋转群的有限子群. 不变张量的例子
§21. 伪欧氏空间的二阶张量和它们的特征值
1. 反称张量. 电磁场的不变量
2. 对称张量和特征值. 电磁场的能量-动量张量
§22. 在映射下张量的行为
1. 具下指标的张量的一般限制运算
2. 切空间的映射
§23. 向量场
1. 微分同胚的单参数群
2. 向量场的指数映射
3. 李导数. 例子
§24. 李代数
1. 李代数和向量场
2. 基本的矩阵李代数
3. 线性向量场
4. 变换群上的左不变向量场
5. 基灵度量
6. 三维李代数的分类
7. 共形群的李代数
第四章 张量的微分学
§25. 反称张量的微分
1. 反称张量的梯度
2. 形式的外微分
§26. 反称张量和积分理论
1. 微分形式的积分
2. 微分形式的例题
3. 广义斯托克斯公式. 例题
4. 对立方体上的广义斯托克斯定理的证明
§27. 复空间中的微分形式
1. 算子d和d"
2. 凯勒度量. 曲率形式
§28. 共变微分
1. 欧氏联絡
2. 任意阶张量的共变微分
§29. 共变微分和度量
1. 向量场的平行移动
2. 测地线
3. 与度量相容的联絡
4. 与复结构相容的联絡
§30. 曲率张量
1. 一般曲率张量
2. 曲率张量的对称性。由度量产生的曲率张量
3. 例题:基灵度量下二维和三维空间的曲率张量
4. 彼得松-柯达齐方程. 具常负曲率的曲面和“正弦-戈登”方程
第五章 变分法原理
§31. -维变分问题
1. 欧拉-拉格朗日方程
2. 泛函的基本例子
§32. 守恒定律
1. 保持某个变分问题不变的变换群
2. 几个例子. 守恒定律的应用
§33. 哈密顿体系
1. 勒让德变换
2. 活动坐标系
3. 莫佩尔蒂和费马原理. 应用
§34. 相空间的几何理论
1. 梯度系统
2. 泊松括号
3. 典则变换
§35. 曲面的拉格朗日函数
1. 轨线把和哈密顿-雅可比方程
2. 作为动量的一阶齐次函数的哈密顿情形
§36. 测地方程的二阶变分
1. 二阶变分公式
2. 共轭点和极小性条件
第六章 高维变分问题. 场及几何不变量
§37. 最简单的高维变分问题
1. 欧拉-拉格朗日方程
2. 能量-动量张量
3. 电磁场方程
4. 引力场方程
5. 皂膜
6. 薄板的平衡方程
§38. 拉格朗日的例子
§39. 广义相对论的最简单概念
§40. 群SO(3)和0(3,1)的旋量表示. 狄拉克方程和它的性质
1. 矩阵代数的自同构
2. 群SO(3)的旋量表示
3. 洛伦兹群的旋量表示
4. 狄拉克方程
5. 电磁场的狄拉克方程. 电荷的共轭算子
§41. 具有任意对称性的场的共变微分。
1. 度规变换. 度规不变的拉格朗日
2. 曲率形式
3. 基本例子
§42. 度规不变的泛函的例子. 麦克斯韦和杨-米尔斯方程具恒等于零的变分导数的泛函(示性类)
参考文献
索引
