变分学是数学分析的一个重要组成部分，是一门与其他数学分支密切联系、并有广泛应用的数学学科。近几十年来，变分学不论是在理论上还是在应用中都有了很大发展，与数学其他分支的联系也更加紧密，已经成为大学数学教育不可缺少的部分。

本书是作者在北京大学为高年级本科生和低年级研究生开设“变分学”课程所用的讲义。全书共二十讲，分为三大部分：第一部分（一到八讲）是经典变分学的基本内容，第二部分（九到十四讲）重点介绍直接方法及其理论基础，第三部分（十五到二十讲）是专题选讲。其材料的选取，内容的编排，问题与概念的表述，以及证明的分析与讲解均极具特色。

本书适用于数学及相关专业的本科生、研究生、教师以及研究人员，也可供工科、经济学、管理学等专业的教师和学生使用参考。

前辅文
第一讲变分学与变分问题
  §1.1 前言
  §1.2 泛函
  §1.3 典型例子
  §1.4 进一步的例子
第二讲Euler-Lagrange 方程
  §2.1 函数极值必要条件之回顾
  §2.2 Euler-Lagrange 方程的推导
  §2.3 边值条件
  §2.4 求解Euler-Lagrange 方程的例子
第三讲泛函极值的必要条件与充分条件
  §3.1 函数极值的再回顾
  §3.2 二阶变分
  §3.3 Legendre-Hadamard 条件
  §3.4 Jacobi 场
  §3.5 共轭点
第四讲强极小与极值场
  §4.1 强极小与弱极小
  §4.2 强极小值的必要条件与Weierstrass 过度函数
  §4.3 极值场与强极小值
  §4.4 Mayer 场, Hilbert 不变积分
  §4.5 强极小值的充分条件
  §4.6 定理4.4 的证明(N > 1 的情形)_
第五讲Hamilton-Jacobi 理论
  §5.1 程函与Carath′eodory 方程组
  §5.2 Legendre 变换
  §5.3 Hamilton 方程组
  §5.4 Hamilton-Jacobi 方程
  §5.5 Jacobi 定理
第六讲含多重积分的变分问题
  §6.1 Euler-Lagrange 方程的推导
  §6.2 边值条件
  §6.3 二阶变分
  §6.4 Jacobi 场
第七讲约束极值问题
  §7.1 等周问题
  §7.2 逐点约束
  §7.3 变分不等式
第八讲守恒律与Noether 定理
  §8.1 单参数微分同胚与Noether 定理
  §8.2 能动张量与Noether 定理
  §8.3 内极小
  §8.4 应用
第九讲直接方法
  §9.1 Dirichlet 原理与极小化方法
  §9.2 弱收敛与_弱收敛
  §9.3 _弱列紧性
  §9.4 自反空间与Eberlein-Schmulyan 定理
第十讲Sobolev 空间
  §10.1 广义导数
  §10.2 空间Wm;p(Ω)
  §10.3 泛函表示
  §10.4 光滑化算子
  §10.5 Sobolev 空间的重要性质与嵌入定理
  §10.6 Euler-Lagrange 方程
第十一讲弱下半连续性
  §11.1 凸集与凸函数
  §11.2 凸性与弱下半连续性
  §11.3 一个存在性定理
  §11.4 拟凸性
第十二讲线性微分方程的边值问题与特征值问题
  §12.1 线性边值问题与正交投影
  §12.2 特征值问题
  §12.3 特征展开
  §12.4 特征值的极小极大刻画
第十三讲存在性与正则性
  §13.1 正则性(n = 1)
  §13.2 正则性续(n > 1)
  §13.3 几个变分问题的求解
  §13.4 变分学的局限
第十四讲对偶最小作用量原理与Ekeland 变分原理
  §14.1 凸函数的共轭函数
  §14.2 对偶最小作用量原理
  §14.3 Ekeland 变分原理
  §14.4 Fr′echet 导数与Palais-Smale 条件
  §14.5 Nehari 技巧
第十五讲山路定理及其推广与应用
  §15.1 山路(Mountain Pass) 定理
  §15.2 应用
第十六讲周期解?异宿轨与同宿轨
  §16.1 问题
  §16.2 周期解
  §16.3 异宿轨
  §16.4 同宿轨
第十七讲测地线与极小曲面
  §17.1 测地线
  §17.2 极小曲面
第十八讲变分问题的数值方法
  §18.1 Ritz 方法
  §18.2 有限元
  §18.3 Cea 定理
  §18.4 最优化方法——共轭梯度法
第十九讲最优控制问题
  §19.1 问题的提法
  §19.2 Pontryagin 极大值原理
  §19.3 Bang-Bang 原理
第二十讲有界变差函数与图像恢复
  §20.1 一元有界变差函数的回顾
  §20.2 多元有界变差函数
  §20.3 松弛函数
  §20.4 图像恢复与Rudin-Osher-Fatemi 模型
参考文献
索引

现代数学基础