本书共分八章：第一章为绪论；第二、三章分别介绍了一阶方程、具有两个自变量的二阶方程的基本知识；第四、五、六章分别介绍了三类基本方程：波动方程、热传导方程和Laplace方程的定解问题的适定性、求解方法及解的性质；第七章主要介绍了一阶拟线性双曲守恒律方程组的一些基本知识；第八章介绍了Cauchy-Kovalevskaya定理。另有两个附录：Fourier反演公式；Li-Yau估计。本书不仅把注意力集中在传统的偏微分方程基础知识上，而且还有目的地介绍一些当代数学知识，譬如在几何分析中具有重要作用的Li-Yau估计和Ｈarｎack不等式等。本书的另一特点是，除在每节后面为读者准备了一些习题之外，还在一些章节后面为读者准备了一些思考题和“开放问题（open probleｍ）”。这些问题具有一定的启发性，对提高学生对本门课程的学习兴趣有很大帮助。

本书可作为高等院校数学系学生的教材，也可供数学、力学和物理学等相关专业的工作者参考。

前辅文
第一章 绪论
  §1 常用符号
  §2 基本概念
  §3 一些例子
  §4 纵览
第二章 一阶方程
  §1 一个简单线性方程
   §1.1 解析求解：特征线方法
   §1.2 近似求解：有限差分方法
  §2 一类简单拟线性方程
   §2.1 Burgers方程
   §2.2 一般情形
   §2.3 导数的突变和破裂时间
  §3 拟线性方程的几何理论
  §4 拟线性方程的Cauchy问题
   §4.1 Cauchy问题
   §4.2 局部解的存在性
   §4.3 解的存在唯一性条件
   §4.4 一种特殊情况：线性偏微分方程
   §4.5 高维情形
   §4.6 例子
  §5 一阶偏微分方程组
   §5.1 一阶线性偏微分方程组
   §5.2 一阶拟线性偏微分方程组
  §6 总结与思考
第三章 具有两个自变量的二阶偏微分方程
  §1 拟线性二阶方程的特征
  §2 奇性的传播
  §3 二阶线性方程的标准形
  §4 一维波动方程
  §5 总结与思考
第四章 波动方程
  §1 一维波动方程：方程的导出及定解条件
   §1.1 方程的导出
   §2.1 定解条件
  §2 一维波动方程：Cauchy问题
   §2.1 叠加原理
   §2.2 齐次化原理
  §3 一维波动方程：初边值问题
   §3.1 分离变量法
   §3.2 非齐次方程
   §3.3 非齐次边界条件
  §4 高维波动方程的Cauchy问题
   §4.1 高维空间中的波动方程
   §4.2 定解条件
   §4.3 球平均法
   §4.4 Hadamard降维法
   §4.5 非齐次波动方程Cauchy问题的解
  §5 波的传播
   §5.1 基本概念
   §5.2 波的传播：Huygens原理与波的弥散现象
   §5.3 解的衰减
   §5.4 解的正则性
  §6 一般的Cauchy问题与初边值问题
   §6.1 一般的Cauchy问题
   §6.2 初边值问题
  §7 能量不等式
   §7.1 动能和位能
   §7.2 初边值问题解的唯一性与稳定性
   §7.3 Cauchy问题解的唯一性与稳定性
  §8 总结与思考
第五章 热传导方程
  §1 热传导方程的导出及其定解条件
   §1.1 方程的导出
   §1.2 定解条件
  §2 Cauchy问题
   §2.1 Fourier变换
   §2.2 Cauchy问题的求解——Fourier变换法
   §2.3 解的存在性
  §3 初边值问题
  §4 极值原理
   §4.1 极值原理
   §4.2 初边值问题
   §4.3 Cauchy问题
  §5 Li-Yau估计与Harnack不等式
  §6 渐近性态
   §6.1 初边值问题
   §6.2 Cauchy 问题
  §7 总结与思考
第六章 Laplace方程
  §1 方程的导出及定解条件的提法
   §1.1 方程的导出
   §1.2 定解条件
  §2 变分法
   §2.1 变分问题与Euler-Lagrange方程
   §2.2 变分原理
   §2.3 变分问题与定解问题的求解
  §3 调和函数
   §3.1 Green公式
   §3.2 基本积分公式
   §3.3 基本性质
   §3.4 极值原理
   §3.5 Laplace方程的第一边值问题解的唯一性和稳定性
  §4 Green函数
   §4.1 引进Green函数的动机及其基本性质
   §4.2 镜像法
   §4.3 解的验证
  §5 调和函数（续）
  §6 强极值原理
   §6.1 强极值原理
   §6.2 应用：Laplace方程第二边值问题解的唯一性
  §7 总结与思考
第七章 拟线性双曲守恒律方程组初步
  §1 拟线性双曲守恒律方程组
   §1.1 基本概念
   §1.2 例子
   §1.3 解的破裂
  §2 间断解
   §2.1 解的定义
   §2.2 Rankine-Hugoniot条件
   §2.3 熵条件
   §2.4 Riemann问题
  §3 非线性波：经典解情形
   §3.1 疏散波与压缩波
   §3.2 应用实例——追赶问题
  §4 非线性波：间断解情形
   §4.1 单个守恒律
   §4.2 激波的形成与传播
   §4.3 Riemann问题（续）
  §5 总结与思考
第八章 Cauchy-Kovalevskaya定理
  §1 准备知识
   §1.1 多重无穷级数
   §1.2 实解析函数
   §1.3 实解析函数（续）
  §2 Cauchy-Kovalevskaya定理
   §2.1 Cauchy-Kovalevskaya定理
   §2.2 Cauchy-Kovalevskaya定理的证明
  §3 一些注记
附录一 Fourier反演公式
附录二 Li-Yau估计
参考文献

现代数学基础