本书是现代微分几何的入门教材。自从20世纪50年代以来，以“内蕴”和“大范围”为特点的现代微分几何为现代数学的研究提供了必不可少的语言、思想和方法。通常认为，关于微分流形的基础理论和联络、黎曼度量等几何结构的课程是数学研究生必修的基础课，对于数学研究生学习和理解现代数学有重要意义。课程的主要内容有：张量和外形式，微分流形，切向量场，光滑张量场和外微分式，李群的初步知识，联络。 本书的前身是陈省身和陈维桓合著的《微分几何讲义》，以及陈维桓编著的《微分流形初步》。作者在北京大学和首都师范大学长期开设有关的课程，积累了丰富的教学经验。特别是本书以作者在首都师范大学的教学为基础，在内容取材、概念讲解、例题演示、习题选配方面下了很多工夫，使得全书的取材更加精简，系统更加合理，并且更加适应于微分几何知识在更大范围内的普及。本书从微分流形的基本概念着手，强调每一种数学结构引进的目的和功能，使得每一章节的重点突出，读者也更加容易理解和接受。特别是在书中讲解了多达40道的例题，提供了从理论到习题的范例。本书在介绍了微分流形的基础理论之后，重点放在联络的理论，最后讲解了在现代数学中有广泛应用的Chern示性类，体现了教材内容的先进性。 本书可以作为综合大学、高等师范院校基础数学专业研究生学习现代微分几何的教材，也可以作为应用数学、力学和物理学相关专业的学生和教师的参考书。

前辅文
绪论
第一章 张量和外形式
  1.1 向量空间和对偶向量空间
   1.1.1 n维向量空间
   1.1.2 对偶向量空间
   1.1.3 Einstein和式约定
   1.1.4 向量空间及其对偶向量空间的基底变换
   1.1.5 向量空间及其对偶向量空间中元素的分量的变换公式
  1.2 张量
   1.2.1 协变张量
   1.2.2 1 阶反变、r阶协变的张量
   1.2.3 r 阶反变、s阶协变的张量
   1.2.4 张量的缩并
   1.2.5 欧氏向量空间
  1.3 外形式
   1.3.1 r 次外形式
   1.3.2 广义Kronecke-＆记号
   1.3.3 反对称化运算
   1.3.4 外积
   1.3.5 r次外形式空间^rV*的基底
   1.3.6 外多项式
   1.3.7 线性映射的诱导映射
  习题一
第二章 微分流形
  2.1 拓扑流形
   2.1.1 拓扑结构
   2.1.2 拓扑基
   2.1.3 连续函数和连续映射
   2.1.4 几个拓扑性质
   2.1.5 n 维拓扑流形
  2.2 光滑流形
   2.2.1 C∞坐标覆盖
   2.2.2 光滑流形的例子
   2.2.3 光滑函数和光滑映射
  2.3 单位分解定理
   2.3.1 截断函数
   2.3.2 局部定义的光滑函数扩充成为大范围定义的光滑函数
   2.3.3 若干拓扑概念和引理
   2.3.4 单位分解定理
  习题二
第三章 切向量场
  3.1 切空间
   3.1.1 切向量
   3.1.2 切空间
   3.1.3 切空间T_pM的基底和维数
   3.1.4 切空间T_pM的自然基底在局部坐标变换时的变换规律
   3.1.5 余切向量和余切空间
   3.1.6 切映射
   3.1.7 光滑映射在一点的秩
   3.1.8 余切映射
  3.2 切向量场
   3.2.1 切丛
   3.2.2 C∞切向量场
   3.2.3 C∞切向量场作为作用在光滑函数上的算子
   3.2.4 C∞切向量场的Poisson括号积
   3.2.5 C∞切向量场Poisson括号积的局部坐标表示
   3.2.6 在光滑流形之间的光滑映射下相关的光滑切向量场
  3.3 光滑流形上的单参数变换群
   3.3.1 单参数变换群
   3.3.2 单参数变换群的诱导切向量场
   3.3.3 局部单参数变换群
   3.3.4 M上的光滑切向量场生成局部单参数变换群
   3.3.5 紧致光滑流形上的光滑切向量场生成单参数变换群
   3.3.6 在C∞同胚下不变的光滑切向量场
   3.3.7 李导数
  习题三
第四章 光滑张量场和外微分式
  4.1 光滑张量场
   4.1.1 (r,s)型张量丛
   4.1.2 光滑的(r,s)型张量场
   4.1.3 r 阶协变张量场
   4.1.4 作为r重线性映射的r阶协变张量场
   4.1.5 r 阶协变张量场的李导数
   4.1.6 r 次外微分式
  4.2 外微分式的外微分
   4.2.1 外微分
   4.2.2 外微分运算唯一性的证明
   4.2.3 外微分运算存在性的证明
   4.2.4 外微分的求值公式
   4.2.5 拉回映射和外微分
  4.3 外微分式的积分
   4.3.1 向量空间的定向
   4.3.2 可定向微分流形
   4.3.3 可定向微分流形的判定定理
   4.3.4 n 次外微分式在n维有向光滑流形上的积分
  4.4 Stokes 定理
   4.4.1 微积分基本定理
   4.4.2 带边区域和它的边界
   4.4.3 有向光滑流形中带边区域的边界的诱导定向
   4.4.4 Stokes 定理
   4.4.5 Stokes 定理的证明
   4.4.5.1 U∩aD=?情形
   4.4.5.2 U∩aD=?的情形
  习题四
第五章 李群的初步知识
  5.1 李群的定义
   5.1.1 定义
   5.1.2 李群的例子
   5.1.3 李群上的光滑同胚
  5.2 李群的李代数
   5.2.1 左不变向量场
   5.2.2 李群的李代数
   5.2.3 李群的结构常数的局部坐标表达式
   5.2.4 李氏基本定理
   5.2.5 若干计算实例
  5.3 Maurer-Cartan形式
   5.3.1 左不变微分式
   5.3.2 左不变微分式构成李群的李代数的对偶向量空间
   5.3.3 左不变微分式的局部坐标表达式
   5.3.4 Maurer-Cartan方程
  5.4 指数映射
   5.4.1 李群的单参数子群
   5.4.2 左不变向量场生成的单参数变换群
   5.4.3 由X∈T_eG生成的单参数子群X
   5.4.4 指数映射及其性质
  5.5 李氏变换群
   5.5.1 李氏变换群的定义
   5.5.2 李氏变换群的例子
   5.5.3 有效作用和自由作用的李氏变换群
   5.5.4 基本向量场
  习题五
第六章 联络
  6.1 联络的概念
   6.1.1 光滑流形上的联络
   6.1.2 联络的局部坐标表达式
   6.1.3 联络系数在局部坐标变换时的变换公式
   6.1.4 联络的存在性
   6.1.5 联络形式
  6.2 仿射联络空间
   6.2.1 光滑切向量场的协变导数和协变微分
   6.2.2 光滑张量场的协变导数和协变微分
   6.2.3 切向量沿曲线的平行移动
   6.2.4 挠率张量和曲率张量
   6.2.5 挠率张量和曲率张量是仿射联络空间偏离仿射空间的量度
   6.2.6 挠率形式和曲率形式
  6.3 黎曼流形上的黎曼联络
   6.3.1 黎曼几何的基本定理
   6.3.2 黎曼联络的联络形式
   6.3.3 黎曼曲率张量
   6.3.4 截面曲率
   6.3.5 常曲率空间的黎曼曲率张量
   6.3.6 Ricci 曲率和数量曲率
  6.4 向量丛上的联络论
   6.4.1 向量丛
   6.4.2 向量丛上的联络
   6.4.3 曲率形式和Bianchi恒等式
   6.4.4 黎曼向量丛上的相容联络
   6.4.5 Pontryagin示性类
   6.4.6 复向量丛和陈省身示性类
  习题六
附录 一阶偏微分方程组的可积性
部分习题答案或提示
参考文献
索引