热核长期以来一直都是古典和现代数学的基本工具，而从20 世纪70 年代开始几何分析成为重要的创新学科以来，热核在其中变得尤为重要。基于热核的方法广泛应用于分析、几何、概率论以及物理学中。本书是对黎曼流形上的热核技术的全面概述，这必然包括对Laplace-Beltrami 算子和相应热方程的分析。

本书的前十章包含了这一学科的基本内容，后面几章讨论了热核在各种各样情况下更高深的结果。全书从基本的黎曼几何概念出发，详尽研究了黎曼流形上的拉普拉斯算子和热方程的谱理论、马尔可夫性和光滑性，最终得到高斯热核估计。

本书考虑到学生的需求，还特别包含了400 多道练习题，是一本联系基础成果和现代研究的桥梁之作。

前辅文
第一章 Rn 中的拉普拉斯算子与热方程
  1.1 历史背景
  1.2 格林公式
  1.3 热方程
  后记
第二章 Rn 中的函数空间
  2.1 空间Ck 和Lp
  2.2 卷积与单位分解
  2.3 光滑函数逼近可积函数
  2.4 分布
  2.5 利用光滑函数逼近分布
  2.6 弱导数和索伯列夫空间
  2.7 Rn 中的热半群
  后记
第三章 黎曼流形上的拉普拉斯算子
  3.1 光滑流形
  3.2 切向量
  3.3 黎曼距离
  3.4 黎曼测度
  3.5 散度定理
  3.6 拉普拉斯算子和加权流形
  3.7 子流形
  3.8 乘积流形
  3.9 Rn; Sn;Hn 中的极坐标
  3.10 模型流形
  3.11 路径的长度以及测地距离
  3.12 光滑映射和等距同构
  后记
第四章 拉普拉斯算子和L2 (M) 中的热方程
  4.1 分布与索伯列夫空间
  4.2 Dirichlet Laplace 算子和预解式
  4.3 热半群和L2-柯西问题
  后记
第五章 弱极大值原理和相关话题
  5.1 W10 中的链式法则
  5.2 W1 中的链式法则
  5.3 预解式的马尔可夫性和热半群
  5.4 弱极大值原理
  5.5 子集中的预解式和热半群
  后记
第六章 Rn 中的正则性理论
  6.1 嵌入定理
  6.2 两个技术性引理
  6.3 局部椭圆正规性
  6.4 局部抛物正则性
  后记
第七章 流形上的热核
  7.1 局部正则性问题
  7.2 半群解的光滑性
  7.3 热核
  7.4 热半群的延拓
  7.5 热核关于t; x; y 的光滑性
  后记
第八章 正解
  8.1 热半群的极小性
  8.2 预解式的延拓
  8.3 强极大值/极小值原理
  8.4 随机完备性
  后记
第九章 作为基本解的热核
  9.1 基本解
  9.2 例子
  9.3 全局解
  后记
第十章 谱性质
  10.1 希尔伯特空间中算子的谱
  10.2 谱的下确界
  10.3 底部特征函数
  10.4 相对紧区域上的热核
  10.5 极大极小值原理
  10.6 离散谱及紧嵌入定理
  10.7 _1 的正性
  10.8 log pt 的长期渐进性质
  后记
第十一章 距离函数和完备性
  11.1 完备性的概念
  11.2 利普希茨函数
  11.3 本性自伴
  11.4 随机完备性和体积增长
  11.5 抛物流形
  11.6 谱和距离函数
  后记
第十二章 积分形式的高斯估计
  12.1 积分极大值原理
  12.2 Davies-Gaffney 不等式
  12.3 高阶特征值的上界
  12.4 具有调和初始函数的半群解
  12.5 Takeda 不等式
  后记
第十三章 格林函数和格林算子
  13.1 格林算子
  13.2 上平均函数
  13.3 局部哈纳克不等式
  13.4 _-调和函数序列的收敛
  13.5 正谱
  13.6 格林函数作为基本解
  后记
第十四章 超压缩估计和特征值
  14.1 超压缩和热核界
  14.2 Faber-Krahn 不等式
  14.3 纳什不等式
  14.5 Faber-Krahn 蕴含超压缩性
  14.6 超压缩蕴含Faber-Krahn 不等式
  14.7 较大特征值的下界
  14.8 直积上的Faber-Krahn 不等式
  后记
第十五章 点态高斯估计I
  15.1 L2-平均值不等式
  15.2 球中的Faber-Krahn 不等式
  15.3 热核加权L2-范数
  15.4 在球的并集中的Faber-Krahn 不等式
  15.5 对角线以外的上界
  15.6 相对Faber-Krahn 不等式和Li-Yau 上界
  后记
第十六章 逐点高斯估计II
  16.1 Ptf 的加权L2-范数
  16.2 热核的高斯上界
  16.3 对角线上的下界
  16.4 结语: 构造热核的其他方法
  后记和进一步的参考资料
附录A 参考资料
  A.1 希尔伯特空间
  A.2 弱拓扑
  A.3 紧算子
  A.4 测度论和积分
  A.5 自伴随算子
  A.6 Gamma 函数
参考文献
符号列表
名词索引

亚历山大.格里戈里安 (Alexander Grigor'yan)，英国数学家，毕业于莫斯科大学数学力学系，现担任比勒菲尔德大学数学教授，是国际数学界热核研究领域的专家。1974年获得国际数学奥林匹克竞赛金奖，1988年获得莫斯科数学会奖，1997年获得伦敦数学会怀德海奖。研究方向为黎曼流形上的几何分析、图论和度量空间。