这本书源自巴黎综合理工大学的一年级课程，全书主要内容包括： ——“数学小词典”以更紧凑的形式给出了如下数学基本概念的要点：群、环、域、矩阵、拓扑、紧性、连通性、完备性、数值级数、函数序列的收敛性、埃尔米特空间等，同时包含一百多个习题及解答。 ——讲述数学根基中的3个理论：有限群表示论、经典泛函分析和全纯函数理论。 ——13个问题校正综合了书中的定理，证明出一些漂亮结果（如证明ζ(3)是无理数）。 本书的主要特色在于强调数学的文化特性和数学的统一性。许多脚注都暂时离开数学的“高速公路”而进行了一次短途旅行。7个附录在课程内容范畴内讲述了经典数学文献的一些专题，展示如何结合这些基本理论来解决有深刻内涵的问题。其中之一是关于素数定理，它的证明经历了150多年才完成；另一个则是介绍了Langlands纲领, 数论学家已经围绕它工作了40多年, 其中一个最为精彩的结果是它蕴含了费马大定理。在这两者之间，读者会发现 p-adic的一些特性，发现实数与 p-adic 数间带有神秘色彩的联系公式，或者看到未解决的千禧年问题。

前辅文
数学小词典
  1.基本文法
   1.1 二项式系数
   1.2 整数环mathbfZ
   1.3 基础逻辑与集合语言之间的平行性
   1.4 可数集
  2.代数结构
   2.1 合成律
   2.2 代数结构的例子
   2.3 载体的子载体
   2.4 态射
   2.5 核与像
   2.6 乘积与和
   2.7 等价关系
   2.8 整数模D的环mathbfZDmathbfZ
   2.9 向量空间的商以及A-模的商
   2.10 商环,理想
   2.11 商群
  3.有限群
   3.1 循环群
   3.2 有限阿贝尔群
   3.3 拉格朗日定理及其各种形式
   3.4 对称群S_n
  4.多项式
   4.1 单变量的多项式
   4.2 欧几里得环和主理想环
   4.3 多元多项式
   4.4 对称多项式
   4.5 诺特环
  5.线性代数
   5.1 向量空间
   5.2 向量空间的态射
   5.4 有限维向量空间
   5.5 对偶
  6.行列式
   6.1 交错多重线性形式
   6.2 n个向量的行列式
   6.3 自同态的行列式
  7.矩阵
   7.1 系数在域中的矩阵
   7.2 矩阵的乘积
   7.3 线性代数的基本定理
   7.4 线性映射的矩阵
   7.5 方阵
   7.6 方阵的行列式
   7.7 系数在一个环中的矩阵
   7.8 分块矩阵
  8.有关(交换)域论的几个论述
   8.1 有限子扩张
   8.2 代数性, 超越性
   8.3 代数扩张, 整闭包
   8.4 用直尺和圆规作图
   8.5 超越度
   8.6 构造代数扩域
   8.7 有限域
   8.8 一个域的代数闭包
  9.方程组
   9.1 线性方程组
   9.2 多项式方程组
  10.自同态的约化
   10.1 一般情形
   10.2 K[X]上的挠模和自同态的约化
   10.3 主理想环上的挠模
   10.4 主理想环上的模
   10.5 标量扩张
  11.拓扑
   11.1 拓扑空间
   11.2 度量空间
   11.3 连续性
   11.4 子空间, 乘积空间, 商空间
   11.5 分离空间
   11.6 内核, 闭包, 稠密
   11.7 拓扑空间中的序列
  12.紧性
   12.1 紧空间
   12.2 紧性与序列
   12.3 紧空间的基本性质
   12.4 完全实直线
   12.5 拓扑空间T=mathbfRmathbfZ
  13.连通性
   13.1 连通集
   13.2 道路连通性
  14.完备性
   14.1 柯西序列
   14.2 完备空间的主要性质
   14.3 度量空间的完备化
  15.数值级数
   15.1 正项级数
   15.2 一些标准级数
   15.3 绝对收敛的级数
   15.4 幂级数
   15.5 复指数函数
   15.6 发散级数的和
  16.函数的收敛性
   16.1 单收敛
   16.2 一致收敛性
  17.赋范向量空间
   17.1 赋范域
   17.2 范数与连续线性映射
   17.3 算子的范数
   17.4 范数的等价
   17.5 算子的谱范数
   17.6 赋范向量空间的单位球
   17.7 双线性连续映射
  18.准希尔伯特空间
   18.1 标量积
   18.2 正交性
   18.3 酉性
   18.4 自伴算子, 埃尔米特矩阵
  19.诡谲特例
   19.1 无处可微的连续函数
   19.2 魔梯
   19.4 佩亚诺曲线
   19.5 连通而非道路连通的集合
  20.构造数
   20.1 自然数
   20.2 整数, 有理数
   20.3 实数,复数
   20.4 p-adic数
  21.习题校正
术语索引
数学陈述索引
人名索引
编年
译后记