前辅文
第一部分 曲线与曲面的局部微分几何
第一章 欧氏空间
1.1 向量空间
1. 向量空间
2. 向量分析
1.2 欧氏空间
1. 向量的运算
2. 坐标与坐标变换
3. 合同变换
4. 正交标架与合同变换群
习题一
第二章 曲线的局部理论
2.1 曲线的概念
2.2 平面曲线
2.3 $E ^3$的曲线
2.4 曲线论基本定理
习题二
第三章 曲面的局部理论
3.1 曲面的概念
1. 曲面的概念
2. 切平面与法向
3.2 曲面的第一基本形式
3.3 曲面的第二基本形式
3.4 法曲率与Weingarten~(魏因加滕)变换
3.5 主曲率与Gauss曲率
3.6 曲面的一些例子
1. 旋转曲面
2. 直纹面与可展曲面
3. 全脐点曲面
习题三
第四章 标架与曲面论基本定理
4.1 活动标架
4.2 自然标架的运动方程
4.3 曲面的结构方程
4.4 曲面的存在惟一性定理
4.5 正交活动标架
4.6 曲面的结构方程(外微分法)
1. 外微分形式
2. 曲面的结构方程
3. $E^3$的正交标架与曲面的部分标架
习题四
第五章 曲面的内蕴几何学
5.1 曲面的等距变换
5.2 曲面的协变微分
5.3 测地曲率与测地线
5.4 测地坐标系
1. 测地平行坐标系
2. 测地极坐标系和法坐标系
5.5 Gauss-Bonnet~(高斯\bzx 博内)公式
*5.6 曲面的Laplace算子
*5.7 Riemann度量
1. Riemann度量
2. 结构方程
3. 切向量场
4. 协变微分
5. 测地曲率
习题五
第二部分 整体微分几何选讲
第六章 平面曲线的整体性质
6.1 平面的闭曲线
1. 切线的旋转指数定理
2. 等周不等式与圆的几何特性
6.2 平面的凸曲线
1. Minkowski~(闵可夫斯基)问题
2. 四顶点定理
第七章 曲面的若干整体性质
7.1 曲面的整体描述
7.2 整体的Gauss-Bonnet公式
1. 曲面的三角剖分
2. Gauss-Bonnet公式
3. Gauss-Bonnet公式的应用
7.3 紧致曲面的Gauss映射
1. 紧致曲面的绝对全曲率
2. 空间曲线的全曲率
7.4 凸曲面
1. 凸曲面
2. 积分公式
3. 球面的特性
4. 凸曲面的刚性
5. 凸曲面的Minkowski问题
7.5 曲面的完备性
第八章 常Gauss曲率曲面
8.1 常正Gauss曲率曲面
8.2 常负Gauss曲率曲面与sine-Gordon~(戈登)方程
8.3 Hilbert定理
8.4 B\"acklund~(贝克隆)变换
1. 线汇与焦曲面
2. B\"acklund变换
第九章 常平均曲率曲面
9.1 Hopf微分与Hopf定理
9.2 Alexsandrov惟一性定理
9.3 附录:常平均曲率环面
第十章 极小曲面
10.1 极小图
10.2 极小曲面的Weierstrass表示
10.3 极小曲面的Gauss映射
10.4 面积的变分与稳定极小曲面
索引
