数学中的自由边界问题是一类未知函数和边界需要一起决定的偏微分方程问题，它和最优控制有关，是非线性问题。金融中有大量的衍生品定价问题、最优投资消费问题和风险评估问题可以转化为自由边界的求解问题。本书收集了这类问题，从问题本身出发，用随机分析的工具，通过数学建模，将问题转化为自由边界问题，然后应用数学中经典的解决自由边界问题的技巧并克服问题各自的特殊困难，进行求解、实施数值计算并讨论解和自由边界的各种性质。

本书的前两章是相关基础知识介绍，接下来几章分别讨论了从美式和选择类的期权定价、优化投资和信用等级评估等方面提出的各种自由边界问题及其解决方案。

本书的读者可以是从事金融数学或偏微分方程研究的研究者和研究生，甚至是高年级本科生，还可以是金融业界遇到相关问题的从业者。它既可以作为研究生教材，又可以作为相关领域工作者的扩展读物。阅读本书的读者需要具备基础金融知识、简单的随机分析以及偏微分方程方面的知识。

前辅文
第1章 预备知识
  1.1 随机过程基本知识
   1.1.1 几个常用的随机过程
   1.1.2 Itô公式
   1.1.3 Feynman-Kac公式
   1.1.4 动态规划原理
  1.2 偏微分方程的基本知识
   1.2.1 函数空间
   1.2.2 二阶线性抛物型方程的先验估计和存在定理
   1.2.3 二阶退化偏微分方程与边界条件(Fichera定理)
   1.2.4 Black-Scholes方程和公式
  1.3 一些有用的定理
   1.3.1 不动点定理
   1.3.2 几个收敛定理
   1.3.3 Hopf原理
  参考文献
第2章 经典的自由边界问题
  2.1 障碍问题
   2.1.1 椭圆障碍问题
   2.1.2 抛物障碍问题
   2.1.3 变分不等式
  2.2 Stefan问题(冰水问题)
   2.2.1 模型
   2.2.2 一维问题
   2.2.3 一相Stefan问题解的存在性
   2.2.4 一相Stefan问题自由边界x=s(t)的性质
   2.2.5 守恒形式——Stefan问题的弱形式
  2.3 障碍问题与一相Stefan问题的互相转换
  参考文献
第3章 美式期权
  3.1 永久美式期权
   3.1.1 经典的永久美式期权
   3.1.2 带跳的永久美式期权
  3.2 具有有限到期日的美式期权
   3.2.1 模型推导
   3.2.2 变分不等式问题的解
   3.2.3 自由边界的性质
   3.2.4 证实定理
   3.2.5 美式期权的数值计算和最佳实施边界的收敛速率
   3.2.6 文献综述
  3.3 美式回望期权
   3.3.1 模型推导
   3.3.2 问题(3.3.14)的解的存在唯一性
   3.3.3 自由边界的性质
   3.3.4 文献综述
  3.4 美式利率期权
   3.4.1 模型推导
   3.4.2 问题(3.4.7)的解的存在唯一性
   3.4.3 自由边界的性质
   3.4.4 文献综述
  参考文献
第4章 嵌入选择类期权的金融产品
  4.1 分期支付期权金的期权
   4.1.1 模型推导
   4.1.2 问题(4.1.12)的解的存在唯一性
   4.1.3 关于自由边界位置的估计
   4.1.4 自由边界的局部光滑性
   4.1.5 自由边界的整体光滑性
   4.1.6 自由边界的非单调性
   4.1.7 自由边界与参数之间的关系
   4.1.8 数值计算结果
   4.1.9 文献综述
  4.2 可赎回债券
   4.2.1 模型假设
   4.2.2 现金流
   4.2.3 自由边界问题
   4.2.4 模型扩展——加限制条件的可赎回条款
   4.2.5 数值结果
  4.3 可转换债券
   4.3.1 模型推导
   4.3.2 在不同条件下的模型求解和自由边界讨论
   4.3.3 文献综述
  4.4 灵活还款方式的贷款
   4.4.1 模型假设
   4.4.2 贷款的现金流分析
   4.4.3 自由边界问题模型
   4.4.4 剩余贷款期望价值解的存在唯一性
   4.4.5 自由边界的性质
   4.4.6 数值结果
   4.4.7 文献综述
  参考文献
第5章 优化投资问题
  5.1 带交易费的投资问题
   5.1.1 投资者的问题
   5.1.2 没有交易费时Merton的结论
   5.1.3 有交易费时最优控制模型的推导
   5.1.4 降维
   5.1.5 将梯度约束变换为函数约束
   5.1.6 问题解的存在唯一性和正则性
   5.1.7 自由边界的性质
   5.1.8 等价性
   5.1.9 文献综述
  5.2 投资项目的最佳退出问题
   5.2.1 建立模型
   5.2.2 问题(5.2.16)的解的存在唯一性以及最优退出边界的性质
   5.2.3 最优减资边界的特征
   5.2.4 证实定理
   5.2.5 文献综述
  5.3 选择最优停止的投资问题
   5.3.1 建立模型
   5.3.2 HJB 方程
   5.3.3 对偶变换
   5.3.4 对偶自由边界问题
   5.3.5 原自由边界问题
   5.3.6 对偶变换注意要点
   5.3.7 文献综述
  参考文献
第6章 信用等级变换评估
  6.1 同升降等级边界模型
   6.1.1 模型假设
   6.1.2 现金流
   6.1.3 PDE问题
   6.1.4 磨光近似问题
   6.1.5 近似解的估计
   6.1.6 自由边界的近似
   6.1.7 解的存在唯一性
   6.1.8 自由边界的光滑性
   6.1.9 渐近性和行波解
   6.1.10 模型的推广
   6.1.11 数值结果
  6.2 异升降等级边界模型
   6.2.1 模型改进
   6.2.2 改进的自由边界问题
   6.2.3 解的存在唯一性
   6.2.4 解的渐近形态
  6.3 文献综述
  参考文献
索引