本书为一学年课程设计，涵盖偏微分方程的基本原理，面向数学、其他科学、工程和相关领域的高年级本科生及研究生新生。内容阐述注意在求解方法、数学严谨和重要应用三个方面之间的平衡。几乎每节末尾都有大量习题，其中包括巩固新方法与新结果的简单计算、理论发展和证明细节，在计算上和概念上兼具挑战的专题探究，以及激励学生进一步探究该领域的补充材料。 本书没有预设学生学过偏微分方程或Fourier理论，主要先修课程是本科学习的一元微积分、多元微积分、常微分方程和基础线性代数。分离变量、Fourier分析、边值问题、Green函数和特殊函数等经典内容构成本课程的核心，涵盖非线性方程、激波动力学、对称性与相似性、最大值原理、金融模型、色散与孤子、Huygens原理以及量子力学系统等, 本书较好地反映了这些活跃领域当代研究的最新发展和趋势。数值近似方法是本课程的重要组成部分, 包括两种最基本的方法: 有限差分和有限元。

前辅文
第1章 何为偏微分方程
  经典解
  初始条件与边界条件
  线性方程与非线性方程
第2章 线性波与非线性波
  2.1 驻波
  2.2 输运与行波
   均匀输运
   阻尼输运
   非均匀输运
  2.3 非线性输运与激波
   激波动力学
   较一般波速
  2.4 波方程: d’Alembert公式
   d’Alembert解
   外部强迫和谐振
第3章 Fourier级数
  3.1 线性发展方程的本征解
   加热圆环
  3.2 Fourier级数
   周期延拓
   分段连续函数
   收敛定理
   偶函数与奇函数
   复Fourier级数
  3.3 微分与积分
   Fourier级数的积分
   Fourier级数的微分
  3.4 标度变换
  3.5 Fourier级数的收敛性
   逐点收敛与一致收敛
   光滑性与衰减
   Hilbert空间
   依范数收敛
   完备性
   逐点收敛性
第4章 分离变量
  4.1 扩散方程与热方程
   热方程
   光滑化与长时间行为
   再论加热环
   非齐次边界条件
   Robin边界条件
   窖藏问题
  4.2 波方程
   分离变量与Fourier级数解
   有界区间的d’Alembert公式
  4.3 平面Laplace方程与Poisson方程
   分离变量
   极坐标
   平均, 最大值原理与解析性
  4.4 线性偏微分方程的分类
   特征线与Cauchy问题
第5章 有限差分
  5.1 有限差分逼近
  5.2 热方程的数值解法
   稳定性分析
   隐式方法与Crank-Nicolson方法
  5.3 一阶偏微分方程的数值解法
   CFL条件
   迎风格式与Lax-Wendroff格式
  5.4 波方程的数值解法
  5.5 Laplace方程与Poisson方程的有限差分解法
   求解策略
第6章 广义函数与Green函数
  6.1 广义函数
   δ–函数
   广义函数的微积分
   δ–函数的Fourier级数
  6.2 一维边值问题的Green函数
  6.3 平面Poisson方程的Green函数
   平面上的微积分
   二维δ–函数
   Green函数
   镜像方法
第7章 Fourier变换
  7.1 Fourier变换
  7.2 求导与积分
   微分
   积分
  7.3 Green函数与卷积
   边值问题的解
   卷积
  7.4 Hilbert空间上的Fourier变换
   量子力学与测不准原理
第8章 线性与非线性发展方程
  8.1 热方程的基本解
   强迫热方程与Duhamel原理
   Black-Scholes方程与金融数学
  8.2 对称性与相似性
   相似解
  8.3 最大值原理
  8.4 非线性扩散
   Burgers方程
   Hopf-Cole变换
  8.5 色散与孤子
   线性色散
   色散关系
   KdV 方程
第9章 线性偏微分方程的一般架构
  9.1 伴随算子
   微分算子
   高维算子
   Fredholm择一律
  9.2 自伴与正定线性函数
   自伴性
   正定性
   二维边值问题
  9.3 极小化原理
   Sturm-Liouville边值问题
   Dirichlet原理
  9.4 本征值与本征函数
   自伴算子
   Rayleigh商
   本征函数级数
   Green函数与完备性
  9.5 关于动力学的一个一般架构
   发展方程
   振动方程
   强迫与谐振
   Schrödinger方程
第10章 有限元与弱解
  10.1 极小化与有限元
  10.2 常微分方程的有限元
  10.3 二维有限元
   三角剖分
   有限元方程
   单元组装
   系数向量与边界条件
   非齐次边界条件
  10.4 弱解
   线性系统的弱形式
   基于弱解的有限元
   激波作为弱解
第11章 平面介质动力学
  11.1 平面介质中的扩散
   扩散方程与热方程的推导
   分离变量
   定性性质
   非齐次边界条件与强迫作用
   最大值原理
  11.2 热方程的显式解
   加热矩形
   加热圆盘: 初步
  11.3 常微分方程的级数解
   Γ–函数
   正则点
   Airy方程
   正则奇点
   Bessel方程
  11.4 圆盘中的热方程(续)
  11.5 平面热方程的基本解
  11.6 平面波方程
   分离变量
   矩形鼓的振动
   圆鼓的振动
   标度变换与对称性
   Chladni图与结点曲线
第12章 空间中的偏微分方程
  12.1 三维Laplace方程与Poisson方程
   自伴公式与最小值原理
  12.2 Laplace方程的分离变量
   球中的Laplace方程
   Legendre方程与Ferrers函数
   球面调和函数
   调和多项式
   平均化、最大值原理与解析性
  12.3 Poisson方程的Green函数
   自由空间Green函数
   有界区域与镜像方法
  12.4 三维介质的热方程
   球体的加热
   球Bessel函数
   热方程的基本解
  12.5 三维介质的波方程
   球体与球面的振动
  12.6 球面波与Huygens原理
   球面波
   Kirchhoff公式与Huygens原理
   降到二维
  12.7 氢原子
   束缚态
   原子本征态与量子数
附录A 复数
附录B 线性代数
  B.1 向量空间与子空间
  B.2 基与维数
  B.3 内积与范数
  B.4 正交性
  B.5 本征值与本征向量
  B.6 线性迭代
  B.7 线性函数与线性系统
参考文献
符号索引
作者索引
名词索引