微分几何

【101教材】微分几何黎俊彬、袁伟、张会春高等教育出版社

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商品名称：微分几何

ISBN：9787040630442

出版社：高等教育出版社

出版年月：2025-01

作者：黎俊彬、袁伟、张会春

定价：28.60

页码：172

装帧：平装

版次：1

字数：210

开本：16开

套装书：否

本书由两部分组成，第一部分包含经典的欧氏空间中曲线和曲面的局部理论，以及曲面的内蕴几何，这一部分可以用48课时完成。第二部分包含微分流形上的微积分理论，这是现代几何的基本内容，以及一些专题内容。全书需72课时讲授完，结构上尽力满足不同层次的微分几何课程教学要求。

全书一方面增加现代几何学的发展介绍，强调现代微分几何的观点，将现代微分几何中一些重要主题作为选讲和选读内容；另一方面，在一定程度上强调基本的几何事实和几何思想，尽量采用更加朴素的证明方式，而不局限于方法技巧。同时，把习题融入正文中，这样能更好地辅助理解。

本书可以作为综合性大学、理工科大学和高等师范类院校的微分几何课程教材。

前辅文
第一章曲线和曲面的局部理论
  1.1 正则曲线及其弧长参数化
   1.1.1 正则曲线
   1.1.2 弧长参数化
  1.2 曲线的曲率和挠率
   1.2.1 曲率
   1.2.2 挠率
  1.3 Frenet-Serret公式与曲线论基本定理
  1.4 正则曲面及其第一基本形式
   1.4.1 正则曲面
   1.4.2 第一基本形式
   1.4.3 坐标变换与等距
  1.5 第二基本形式、Gauss曲率和平均曲率
   1.5.1 Gauss映射与Weingarten变换
   1.5.2 法曲率
   1.5.3 主曲率、Gauss曲率与平均曲率
  1.6 Gauss绝妙定理与曲面论基本定理
   1.6.1 自然标架的运动方程
   1.6.2 Gauss-Codazzi方程与绝妙定理
   1.6.3 曲面论基本定理
第二章曲面的内蕴几何
  2.1 曲面内蕴几何概述
  2.2 Riemann度量
   2.2.1 切平面
   2.2.2 余切平面
   2.2.3 Riemann度量
  2.3 Levi-Civita联络与协变导数
   2.3.1 协变导数与协变微分
   2.3.2 平行移动
   2.3.3 R3中曲面的协变导数
  2.4 测地线
   2.4.1 测地线的概念
   2.4.2 测地曲率
   2.4.3 指数映射
   2.4.4 法坐标与测地极坐标
  2.5 曲面内蕴曲率
   2.5.1 曲率张量
   2.5.2 Gauss曲率的内蕴定义
   2.5.3 曲率张量与协变导数
  2.6 活动标架与结构方程
   2.6.1 曲面上的微分形式
   2.6.2 外微分法与正交活动标架
   2.6.3 IR3中的正交活动标架
  2.7 常Gauss曲率曲面
  2.8 Gauss-Bonnet公式
第三章微分流形
  3.1 什么是微分流形
   3.1.1 抽象流形
   3.1.2 光滑映射
   3.1.3 切空间
  3.2 向量场与积分曲线
   3.2.1 向量场
   3.2.2 积分曲线
  3.3 李导数
   3.3.1 李括号
   3.3.2 分布和可积性
  3.4 外微分和Stokes定理
   3.4.1 向量空间中的张量积和外积
   3.4.2 微分形式和张量场
   3.4.3 外微分
   3.4.4 单位分解
   3.4.5 流形的定向
   3.4.6 流形上的积分
   3.4.7 Stokes公式
第四章专题选讲
  4.1 极小曲面
   4.1.1 R3中的极小曲面方程
   4.1.2 面积泛函的极小性
   4.1.3 IR3中的极小曲面方程
   4.1.4 R3中的极小曲面
   4.1.5 极小曲面的调和函数刻画
   4.1.6 稳定极小曲面
   4.1.7 Bernstein定理
  4.2 整体微分几何
   4.2.1 二维流形的拓扑
   4.2.2 二维Riemann流形
   4.2.3 弧长变分
   4.2.4 第一变分公式的应用
   4.2.5 Hopf-Rinow定理
   4.2.6 余弦定理和Toponogov比较定理
  4.3 李群和齐性空间初步
   4.3.1 一些重要例子
   4.3.2 李代数
   4.3.3 齐性空间
   4.3.4 李群在算法中的应用
  4.4 Alexandrov几何简介
   4.4.1 公理化曲率
   4.4.2 Hausdorff
   4.4.3 Gromov-Hausdorff
  4.5 一些未解决的问题
参考文献
索引

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