前辅文
第一章 实数
§1.实数集合及其有序化
1.前言
2.无理数定义
3.实数集合的有序化
4.实数的无尽十进小数的表示法
5.实数集合的连续性
6.数集合的界
§2.实数的四则运算
7.实数的和的定义及其性质
8.对称数·绝对值
9.实数的积的定义及其性质
§3.实数的其他性质及其应用
10.根的存在性·具有有理指数的乘幂
11.具有任何实指数的乘幂
12.对数
13.线段的测量
第二章 一元函数
§1.函数概念
14.变量
15.变量的变域
16.变量间的函数关系·例题
17.函数概念的定义
18.函函数的解析表示法
19.函数的图形
20.以自然数为变元的函数
21.历史的附注
§2.几类最重要的函数
22.初等函数
23.反函数的概念
24.反三角函数
25.函数的叠置·结束语
第三章 极限论
§1.函数的极限
26.历史的说明
27.数列
28.序列的极限定义
29.无穷小量
30.例
31.无穷大量
32.函数极限的定义
33.函数极限的另一定义
34.例
35.单侧极限
§2.关于极限的定理
36.具有有限的极限的自然数变元的函数的性质
37.推广到任意变量的函数情形
38.在等式与不等式中取极限
39.关于无穷小量的引理
40.变量的算术运算
41.未定式
42.推广到任意变量的函数情形
43.例
§3.单调函数
44.自然数变元的单调函数的极限
45.例
46.关于区间套的引理
47.在一般情形下单调函数的极限
§4.数e
48.数e看作序列的极限
49.数e的近似计算法
50.数e的基本公式·自然对数
§5.收敛原理
51.部分序列
52.以自然数为变元的函数存在有限极限的条件
53.任意变元的函数存在有限极限的条件
§6.无穷小量与无穷大量的分类
54.无穷小量的比较
55.无穷小量的尺度
56.等价的无穷小量
57.无穷小量的主部的分离
58.应用问题
59.无穷大量的分类
第四章 一元连续函数
§1.函数的连续性(与间断点)
60.函数在一点处的连续性的定义
61.单调函数的连续性条件
62.连续函数的算术运算
63.初等函数的连续性
64.连续函数的叠置
65.几个极限的计算
66.幂指数表达式
67.间断点的分类例子
§2.连续函数的性质
68.关于函数取零值的定理
69.应用于解方程
70.关于中间值的定理
71.反函数的存在性
72.关于函数的有界性的定理
73.函数的最大值与最小值
74.一致连续性的概念
75.关于一致连续性的定理
第五章 一元函数的微分法
§1.导数及其计算
76.动点速度的计算问题
77.作曲线的切线的问题
78.导数的定义
79.计算导数的例
80.反函数的导数
81.导数公式汇集
82.函数增量的公式
83.计算导数的几个最简单法则
84.复合函数的导数
85.例
86.单侧导数
87.无穷导数
88.特殊情况的例子
§2.微分
89.微分的定义
90.可微性与导数存在之间的关系
91.微分的基本公式及法则
92.微分形式的不变性
93.微分作为近似公式的来源
94.微分在估计误差中的应用
§3.高阶导数及高阶微分
95.高阶导数的定义
96.任意阶导数的普遍公式
97.莱布尼茨公式
98.高阶微分
99.高阶微分形式不变性的破坏
第六章 微分学的基本定理
§1.中值定理
100.费马定理
101.罗尔定理
102.有限增量定理
103.导数的极限
104.有限增量定理的推广
§2.泰勒公式
105.多项式的泰勒公式
106.任意函数的展开式
107.余项的其他形式
108.已得的公式在初等函数上的应用
109.近似公式·例
第七章 应用导数来研究函数
§1.函数的变化过程的研究
110.函数为常数的条件
111.函数为单调的条件
112.极大及极小·必要条件
113.第一法则
114.第二法则
115.函数的作图
116.例
117.高阶导数的应用
§2.函数的最大值及最小值
118.最大值及最小值的求法
119.问题
§3.未定式的定值法
120.0/0型未定式
121.∞/∞型未定式
122.其他类型的未定式
第八章 多元函数
§1.基本概念
123.变量之间的函函数关系例
124.二元函数及其定义区域
125.m维算术空间
126.m维空间中的区域举例
127.开区域及闭区域的一般定义
128.m元函数
129.多元函函数的极限
130.例
131.累次极限
§2.连续函数
132.多元函数的连续性及间断
133.连续函数的运算
134.关于函数取零值的定理
135.波尔查诺-魏尔斯特拉斯引理
136.关于函数有界性的定理
137.一致连续性
第九章 多元函数的微分学
§1.多元函数的导数与微分
138.偏导数
139.函数的全增量
140.复合函数的导数
141.例
142.全微分
143.一阶微分形式的不变性
144.全微分在近似计算中的应用
145.齐次函数
§2.高阶导数与高阶微分
146.高阶导数
147.关于混合导数的定理
148.高阶微分
149.复合函数的微分
150.泰勒公式
§3.极值、最大值与最小值
151.多元函数的极值·必要条件
152.静止点的研究(二元函数的情况)
153.函数的最大值与最小值·例子
154.问题
第十章 原函数(不定积分)
§1.不定积分及其最简单的计算法
155.原函数概念(及不定积分概念)
156.积分与求面积问题
157.基本积分表
158.最简单的积分法则
159.例
160.换元积分法
161.例
162.分部积分法
163.例
§2.有理式的积分
164.有限形式积分法问题的提出
165.简单分式及其积分
166.真分式的积分
167.奥斯特罗格拉茨基的积分有理部分分出法
§3.某些根式的积分法
168.型根式的积分法
169.二项式微分的积分法
170.型根式的积分法·欧拉替换法
§4.含有三角函数及指数函数的式子的积分法
171.微分式R(sinx, cosx)dx的积分法
172.其他情形概述
§5.椭圆积分
173.定义
174.化为典式
第十一章 定积分
§1.定积分定义及存在条件
175.解决面积问题的另一途径
176.定义
177.达布和
178.积分存在条件
179.可积函数类别
§2.定积分性质
180.依有向区间的积分
181.可用等式表出的性质
182.可用不等式表出的性质
183.定积分作为上限的函数
§3.定积分的计算及变换
184.用积分和的计算
185.积分学基本公式
186.定积分中变量替换公式
187.定积分的分部积分法
188.沃利斯公式
§4.积分的近似计算
189.梯形公式
190.抛物线公式
191.近似公式的余项
192.例
第十二章 积分学的几何应用及力学应用
§1.面积及体积
193.面积概念的定义·可求积区域
194.面积的可加性
195.面积作为极限
196.以积分表出面积
197.体积概念的定义及其性质
198.以积分表出体积
§2.弧长
199.弧长概念的定义
200.引理
201.以积分表出弧长
202.变弧及其微分
203.空间曲线的弧长
§3.力学及物理上的数量的计算
204.定积分应用程式
205.旋转面面积
206.曲线的静矩及质心的求法
207.平面图形的静矩及质心的求法
208.力功
第十三章 微分学的一些几何应用
§1.切线及切面
209.平面曲线的解析表示法
210.平面曲线的切线
211.切线的正方向
212.空间曲线
213.曲面的切面
§2.平面曲线的曲率
214.凹向·拐点
215.曲率概念
216.曲率圆及曲率半径
第十四章 数学分析基本观念发展简史
§1.微积分前史
217.17世纪与无穷小分析
218.不可分素方法
219.不可分素学说的进一步发展
220.求最大及最小(极大极小)·切线作法
221.借助运动学想法来作切线
222.切线作法问题与求积问题的互逆性
223.上述的总结
§2.依萨克·牛顿(Isaac Newton,1642-1727)
224.流数计算法
225.流数计算法的逆计算法·求积
226.牛顿的“原理”及极限理论的萌芽
227.牛顿的奠基问题
§3.菜布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)
228.建立新计算法的初步
229.最先刊行的微分学著作
230.最先刊行的积分学著作
231.莱布尼茨的其他著作·学派的建立
232.莱布尼茨的奠基问题
233.结尾语
索引
