前辅文
第一章 引言
第二章 调和方程
2.1 方程的物理背景和定解问题
2.1.1 静电场和定常位势流
2.1.2 调和方程和Poisson方程
2.1.3 边值问题
2.1.4 变分原理
2.2 调和函数的基本性质与应用
2.2.1 调和函数的基本性质
2.2.2 基本性质的应用
2.3 极值原理及其应用
2.3.1 极值原理
2.3.2 极值原理的应用
2.4 Green函数法
2.4.1 基本解和Green函数
2.4.2 特殊区域上的Green函数
2.4.3 球上Poisson方程的解
2.4.4 奇点可去性和解析性
2.5 特征值问题
2.5.1 一维情形
2.5.2 高维情形
2.6 一般的椭圆型方程
第三章 热方程
3.1 方程的物理背景和定解问题
3.2 分离变量法和初边值问题解的存在性
3.3 Fourier变换和Cauchy问题解的存在性
3.3.1 Fourier变换及其性质
3.3.2 Cauchy问题解的存在性
3.4 极值原理及其应用
3.4.1 弱极值原理和初边值问题解的唯一性
3.4.2 梯度估计和古代解
3.4.3 Harnack不等式和强极值原理
3.4.4 Cauchy问题解的唯一性
3.4.5 热半群的基本性质和应用
3.5 能量方法和解的唯一性
3.5.1 能量方法和初边值问题解的唯一性
3.5.2 倒向唯一性
3.6 一般的抛物型方程
第四章 波方程
4.1 方程的物理背景和定解问题
4.1.1 弦振动方程和力的平衡方程
4.1.2 定解问题
4.2 波方程的Cauchy问题
4.2.1 一维波方程的d’Alembert公式
4.2.2 三维波方程的球平均法
4.2.3 二维波方程的降维法
4.3 波的传播和解关于时间的衰减性
4.3.1 依赖区域、影响区域和决定区域
4.3.2 有限传播速度和Huygens原理
4.3.3 特征曲面与弱间断解
4.3.4 解关于时间的衰减性
4.4 分离变量法和初边值问题解的存在性
4.5 能量方法和解的唯一性与稳定性
4.5.1 初边值问题解的唯一性和稳定性
4.5.2 Cauchy问题解的唯一性
4.6 一般的双曲型方程
第五章 偏微分方程的应用
5.1 电磁学与Maxwell方程组
5.2 最优传输问题与Monge-Ampère方程
5.3 最优控制问题与HJB方程
习题答案与提示
名词索引
参考文献
