前辅文
第1章 常微分方程初值问题的数值解法
1.1 引论
1.1.1 一阶常微分方程初值问题
1.1.2 Euler法
1.1.3 线性差分方程
1.1.4 Gronwall不等式
1.1.5 习题
1.2 线性多步法
1.2.1 数值积分法
1.2.2 待定系数法
1.2.3 预估–校正算法
1.2.4 多步法的计算问题
1.2.5 习题
1.3 相容性、稳定性和误差估计
1.3.1 局部截断误差和相容性
1.3.2 稳定性
1.3.3 收敛性和误差估计
1.3.4 习题
1.4 单步法和Runge-Kutta法
1.4.1 Taylor展开法
1.4.2 单步法的稳定性和收敛性
1.4.3 Runge-Kutta法
1.4.4 习题
*1.5 绝对稳定性和绝对稳定域
1.5.1 绝对稳定性
1.5.2 绝对稳定域
1.5.3 应用例子
1.5.4 习题
*1.6 一阶方程组和刚性问题
1.6.1 对一阶方程组的推广
1.6.2 刚性问题
1.6.3 A稳定性
1.6.4 数值例子
*1.7 外推法
1.7.1 多项式外推
1.7.2 对初值问题的应用
1.7.3 用外推法估计误差
1.7.4 习题
第2章 椭圆型方程的有限差分法
2.1 差分逼近的基本概念
2.2 一维差分格式
2.2.1 直接差分化
2.2.2 有限体积法(积分插值法)
2.2.3 边值条件的处理
2.2.4 习题
2.3 矩形网的差分格式
2.3.1 五点差分格式
2.3.2 边值条件的处理
2.3.3 习题
2.4 三角网的差分格式
2.4.1 习题
*2.5 极值定理和敛速估计
2.5.1 差分方程
2.5.2 极值定理
2.5.3 五点差分格式的敛速估计
2.5.4 习题
第3章 抛物型方程的有限差分法
3.1 最简差分格式
3.1.1 习题
3.2 稳定性与收敛性
3.2.1 稳定性概念
3.2.2 判别稳定性的直接估计法(矩阵法)
3.2.3 收敛性与敛速估计
3.2.4 习题
3.3 Fourier方法
3.3.1 习题
*3.4 判别差分格式稳定性的代数准则
3.4.1 习题
第4章 双曲型方程的有限差分法
4.1 波动方程的差分逼近
4.1.1 波动方程及其特征
4.1.2 显格式
4.1.3 稳定性分析
4.1.4 隐格式
4.1.5 数值例子
4.1.6 习题
4.2 一阶线性双曲方程组
4.2.1 双曲型方程组及其特征
4.2.2 Cauchy问题、依存域、影响域和决定域
4.2.3 初边值问题
4.2.4 习题
4.3 初值问题的差分逼近
4.3.1 迎风格式
4.3.2 积分守恒差分格式
4.3.3 粘性差分格式
4.3.4 其他差分格式
4.3.5 习题
*4.4 初边值问题和对流占优扩散方程
4.4.1 初边值问题
4.4.2 对流占优扩散方程
4.4.3 数值例子
4.4.4 习题
第5章 边值问题的变分形式与Ritz-Galerkin法
5.1 二次函数的极值
5.1.1 习题
5.2 Sobolev空间初步
5.2.1 Sobolev空间的定义
5.2.2 Sobolev空间的性质
5.2.3 习题
5.3 两点边值问题
5.3.1 极小位能原理
5.3.2 虚功原理
5.3.3 习题
5.4 二阶椭圆边值问题
5.4.1 极小位能原理
5.4.2 自然边值条件
5.4.3 虚功原理
5.4.4 习题
5.5 Ritz-Galerkin方法
5.5.1 习题
*5.6 谱方法
5.6.1 三角函数逼近
5.6.2 Fourier谱方法
5.6.3 拟谱方法(配置法)
第6章 有限元法
6.1 一维例子
6.1.1 两点边值问题及其变分公式
6.1.2 有限元方法
6.1.3 有限元方程组
6.1.4 先验误差估计
6.2 有限元空间的构造
6.2.1 有限元及有限元空间
6.2.2 一维高次元
6.2.3 解二维问题的矩形元与四边形元
6.2.4 三角形元
6.2.5 三维有限元
6.2.6 习题
6.3 二阶椭圆型方程的有限元法
6.3.1 有限元离散
6.3.2 有限元方程组的形成
6.3.3 习题
*6.4 有限元法的收敛性理论
6.4.1 插值理论
6.4.2 误差估计
6.4.3 习题
6.5 初边值问题的有限元法
6.5.1 热传导方程
6.5.2 波动方程
第7章 有限体积元法
7.1 三角形网格上有限体积元法
7.1.1 试探函数空间和检验函数空间
7.1.2 线性元有限体积法
7.1.3 稳定性分析
7.1.4 误差估计
7.2 四边形网格上的有限体积元法
7.2.1 四边形网格剖分及对偶剖分
7.2.2 试探函数空间和检验函数空间
7.2.3 等参双线性有限体积元法
7.2.4 收敛性
7.2.5 数值算例
7.2.6 习题
第8章 间断Galerkin法
8.1 内罚间断Galerkin法
8.1.1 离散格式
8.1.2 对称内罚间断Galerkin (SIPG)法的误差分析
8.1.3 非对称内罚间断Galerkin (NIPG)法的误差分析
8.2 局部间断Galerkin (LDG) 法
8.2.1 离散格式
8.2.2 原始变量形式
8.2.3 误差估计
8.3 杂交间断Galerkin (HDG) 法
8.3.1 离散格式
8.3.2 变分形式I
8.3.3 误差估计
8.3.4 后处理
8.3.5 变分形式II
8.3.6 习题
第9章 弱有限元法
9.1 弱微分算子
9.1.1 广义弱微分算子
9.1.2 离散弱微分算子
9.2 弱有限元数值格式
9.2.1 适定性
9.2.2 L2投影的误差估计
9.2.3 H1误差估计
9.2.4 L2误差估计
9.3 无稳定子弱有限元数值格式
9.3.1 适定性
9.3.2 H1误差估计
9.3.3 L2误差估计
第10章 有限元多重网格法
10.1 模型问题
10.2 经典迭代法
10.2.1 矩阵形式和算子形式
10.2.2 磨光性质
10.3 多重网格V循环算法
10.4 完全多重网格法和工作量估计
10.5 多重网格V循环算法的矩阵形式
10.5.1 习题
第11章 自适应有限元法
11.1 一个带奇性的例子
11.2 后验误差分析
11.2.1 Scott-Zhang插值算子
11.2.2 后验误差估计
11.3 自适应算法
11.4 收敛性分析
11.4.1 习题
参考文献
数学家简介
