本书是一部经典的线性代数教科书，其内容根据作者在莫斯科大学和基辅大学的授课材料整理修订而成，曾被用作苏联高等院校的教材。全书内容包括：行列式、线性空间、线性方程组、以向量为自变量的线性函数、坐标变换、双线性型与二次型、欧几里得空间、正交化与体积的测度、不变子空间与特征向量、欧氏空间里的二次型、二次曲面和无穷维欧氏空间的几何学。

本书的特点是：一、配有大量的例题和习题；二、把线性代数和解析几何巧妙融合在一起，在文中自然运用几何的术语和概念对代数的对象进行解释和描述；三、从有限维空间（线性代数）巧妙地过渡到无穷维空间（泛函分析），为读者学习泛函分析打下基础。

本书可供各级各类高等学校的理工科各专业作为教学参考书。

前辅文
第一章 行列式
  §1 线性方程组
  §2 n阶行列式
  §3 n阶行列式的性质
  §4 行列式按行或列的展开. 余因子
  §5 子式. 用子式表示余因子
  §6 行列式的实际计算
  §7 克拉默法则
  §8 任意阶的子式. 拉普拉斯定理
  §9 关于行列式的列与列之间的线性关系
第二章 线性空间
  §10 引论
  §11 线性空间的定义
  §12 线性相关
  §13 基底及坐标
  §14 维(数)
  §15 子空间
  §16 线性包(空间)
  §17 超平面
  §18 线性空间的同构
第三章 线性方程组
  §19 再谈矩阵的秩
  §20 齐次线性方程组非显明的相容
  §21 一般线性方程组相容的条件
  §22 线性方程组的通解
  §23 线性方程组的解的集合的几何性质
  §24 矩阵秩的算法及基子式的求法
第四章 以向量为自变量的线性函数
  §25 线性型
  §26 线性算子
  §27 n维空间里的线性算子的普遍式
  §28 有关线性算子的运算
  §29 对应的有关矩阵的运算
  §30 逆算子与逆矩阵
  §31 线性算子最简单的特性
  §32 n维空间内的线性算子所构成的代数及其理想子环
  §33 普遍线性算子
第五章 坐标变换
  §34 更换新基底的公式
  §35 更换基底时, 向量的坐标的变换
  §36 接连的变换
  §37 线性型系数的变换
  §38 线性算子矩阵的变换
  §39 张量
第六章 双线性型与二次型
  §40 双线性型
  §41 二次型
  §42 二次型的化为典型式
  §43 唯一性问题
  §44 双线性型的典型基底
  §45 雅可比的求典型基底法
  §46 恒正型
  §47 多重线性型
第七章 欧几里得空间
  §48 引论
  §49 欧几里得空间定义
  §50 基本度量概念
  §51 n维欧氏空间中的正交基底
  §52 欧氏空间的同构
  §53 线性算子的模方
  §54 正交矩阵及等距算子
  §55 线性算子与双线性型的关系. 共轭算子
第八章 正交化与体积的测度
  §56 垂线的问题
  §57 正交化的一般定理
  §58 勒让德多项式
  §59 格拉姆行列式
  §60 k 维超平行体的体积
  §61 阿达马不等式
  §62 不相容的线性方程组与最小二乘方法
第九章 不变子空间与特征向量
  §63 不变子空间
  §64 特征向量与特征值
  §65 有限维空间中特征向量与特征值的计算
  §66 对称算子的特征向量
  §67 无穷维空间中对称算子的例
第十章 欧氏空间里的二次型
  §68 关于二次型的基本定理
  §69 关于二次型的正交归一典型基底及其对应的典型式的唯一性
  §70 二次型的极值性质
  §71 在子空间里的二次型
  §72 有关二次型偶的问题及其解答
  §73 所求基底的实际作法
  §74 唯一性问题
  §75 光滑曲面的法截线的曲率的分布
  §76 力学系统的小振动
第十一章 二次曲面
  §77 化二次曲面的一般方程为典型式
  §78 中心曲面
  §79 不退化的非中心曲面(抛物面)
  §80 退化柱面
  §81 根据一般方程研究曲面
第十二章 无穷维欧氏空间的几何学
  §82 欧氏空间的极限概念
  §83 完备空间
  §84 欧氏空间的完备化
  §85 空间L2(a;b)
  §86 正交余空间
  §87 正交展开式
  §88 有界全连续线性算子
  §89 全连续对称算子的特征向量
  §90 弗雷德霍姆算子的特征向量
  §91 非齐次积分方程的解
  §92 关于具有对称全连续的逆算子的无界算子
  §93 特征函数及特征值的计算
  §94 具有非对称核的积分方程. 弗雷德霍姆备择定理
  §95 对于势论的应用
索引
人名译名对照表

Г. Е. 希洛夫，苏联数学家、数学教育家。研究实变函数和泛函分析（交换巴拿赫代数理论，赋范环）。与其导师盖尔范德合作，在广义函数和偏微分方程理论方面发表了一系列重要文章；在经典分析和傅里叶级数领域也有重要贡献。希洛夫在数学教学方面颇具影响力，其诸多著作如《分析学》和《线性空间引论》已成为经典并广为流传。

俄罗斯数学教材选译

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