本书是为适应数学学科本科生教学改革的需要，结合作者多年来教学实践的经验、体会编写而成的。作者从内容的安排、思维方法的训练等方面进行改革, 作了一些有益的尝试。

本书为第一册, 主要内容包括数列极限、函数极限、函数的连续性、导数与微分、中值定理与Taylor 公式、不定积分与定积分、数项级数、广义积分、函数级数以及Fourier 级数。

本书可作为高等学校理科及师范学校数学学科各专业的教科书, 也可供计算机学科、力学、物理学科各专业选用及社会读者阅读。

前辅文
第一章数列极限
  §1 数列极限的定义和基本性质
   1.1 数列极限的定义
   1.2 数列极限的基本性质
  §2 借助不等式估计作极限论证举例
  §3 与实数理论有关的几个基本定理
   3.1 单调有界原理
   3.2 闭区间套定理
   3.3 确界原理
   3.4 单调有界原理､闭区间套定理与确界原理的等价性
  §4 上下极限
   4.1 上下数列与上下极限
   4.2 用上下极限判定极限的存在性
  §5 Cauchy 收敛准则
   5.1 Cauchy 数列
   5.2 用Cauchy 准则判定极限的存在性
  §6 子数列
   6.1 子数列收敛定理
   6.2 用子数列收敛定理证明Cauchy 准则的充分性
   6.3 用子数列判定极限的存在性
   6.4 无界数列
   6.5 用子数列判定极限的非存在性
第二章函数极限
  §1 函数的基本概念
   1.1 函数及其图形
   1.2 复合函数和反函数
   1.3 初等函数
   1.4 非初等函数举例
  §2 函数极限的定义与性质
   2.1 函数在一点处的极限
   2.2 函数在无穷远处的极限
   2.3 函数极限的性质
  §3 函数极限的判定
   3.1 函数极限与数列极限的关系
   3.2 Cauchy 准则
   3.3 单调有界原理
   3.4 上下极限∗
   3.5 函数极限的非存在性判定
第三章函数的连续性
  §1 函数连续性的定义
   1.1 连续点的定义
   1.2 间断点的定义
   1.3 连续函数的定义
  §2 函数的连续性与四则和复合运算
  §3 闭区间上连续函数的性质
   3.1 有界性定理
   3.2 最值定理
   3.3 介值定理
   3.4 一致连续性
  §4 初等函数的连续性
第四章导数与微分
  §1 导数的几何与物理背景
   1.1 曲线在其上一点处的切线
   1.2 变速直线运动物体的瞬时速度
   1.3 非稳恒电流的电流强度
   1.4 非均匀杆的线密度
  §2 导数及其运算法则
   2.1 导数的定义
   2.2 可导与连续的关系
   2.3 导数的四则运算
   2.4 复合函数的导数
   2.5 反函数的导数
   2.6 基本初等函数的导数
   2.7 导数计算例题
  §3 无穷小量与无穷大量
  §4 微分
   4.1 微分的定义及与导数的关系
   4.2 微分的运算法则
  §5 高阶导数和高阶微分
   5.1 高阶导数
   5.2 高阶微分
  §6 曲线的曲率与密切圆∗
第五章中值定理与Taylor 公式
  §1 微分中值定理
   1.1 Fermat 引理
   1.2 微分中值定理
   1.3 Darboux 定理
  §2 L’Hospital 法则
  §3 Taylor 公式
   3.1 Taylor 公式的一般形式
   3.2 若干初等函数的Maclaurin 公式
   3.3 Taylor 公式应用举例
  §4 函数性质的研究与作图
   4.1 函数的单调性
   4.2 函数的极值与最值
   4.3 函数的凸性与拐点
   4.4 函数作图
  §5 解方程的Newton 法
第六章不定积分
  §1 不定积分的概念与线性性质
   1.1 原函数和不定积分的概念
   1.2 基本积分公式
   1.3 不定积分的线性性质
  §2 换元积分法
   2.1 第一换元积分法
   2.2 第二换元积分法
  §3 分部积分法
  §4 有理函数的积分及相关积分
第七章定积分
  §1 定积分的概念
   1.1 曲边梯形的面积
   1.2 变力作功
   1.3 变速直线运动的路程
   1.4 定积分的定义
  §2 可积性条件
   2.1 可积的必要条件
   2.2 Darboux 和
   2.3 可积的充要条件
  §3 定积分的基本性质
  §4 微积分学基本定理
   4.1 原函数存在定理
   4.2 Newton-Leibniz 公式
  §5 定积分的计算
   5.1 定积分的换元法
   5.2 定积分的分部积分法
   5.3 Taylor 公式的积分型余项
   5.4 例题选讲
  §6 积分中值定理
  §7 定积分的应用
   7.1 微元法
   7.2 定积分在几何上的应用
   7.3 定积分在物理上的应用
第八章数项级数
  §1 级数的概念与基本性质
   1.1 收敛与发散
   1.2 级数的基本性质
  §2 正项级数
  §3 变号级数
   3.1 Leibniz 判别法
   3.2 绝对收敛与条件收敛
   3.3 Abel 判别法和Dirichlet 判别法
  §4 级数的代数运算
   4.1 无穷级数中各项的次序重排
   4.2 级数的乘法
第九章广义积分
  §1 广义积分的定义与基本性质
   1.1 无穷积分的定义
   1.2 瑕积分的定义
   1.3 广义积分的基本性质
  §2 非负函数的广义积分
  §3 一般函数的广义积分
第十章函数项级数
  §1 一致收敛性
   1.1 一致收敛的概念
   1.2 Cauchy 准则
   1.3 函数级数一致收敛判别法
   1.4 广义一致收敛
  §2 函数级数的和函数的性质
   2.1 连续性
   2.2 逐项积分
   2.3 逐项微分
   2.4 Dini 定理∗
  §3 幂级数
   3.1 幂级数的收敛域
   3.2 幂级数的性质
   3.3 Taylor 级数
  §4 连续函数表示为多项式序列的一致极限
第十一章Fourier 级数
  §1 简谐振动及其叠加
  §2 若干预备知识
   2.1 按段单调性和光滑性
   2.2 三角函数系的直交性
  §3 Fourier 系数
   3.1 Fourier 系数的确定
   3.2 计算Fourier 系数的例题
   3.3 Bessel 不等式
   3.4 Riemann 引理
  §4 收敛性定理
   4.1 收敛性条件
   4.2 Fourier 展开式举例
  §5 正弦展开和余弦展开
  §6 Fourier 级数的一致收敛性
  §7 逐项积分与逐项微分
  §8 Fourier 级数的指数形式与任意周期情形