本书结合Atiyah-Singer 指标理论方面近四十年来涌现的新思想、新技术，以凝练的语言，对流形上几何、拓扑与分析中若干经典结果，如示性类的陈-Weil 理论，等变上同调的Bott 留数公式及更一般的Berline-Vergne 局部化公式，Gauss-Bonnet- 陈定理， Poincaré-Hopf 指标公式,Morse 不等式，等等，给出了新颖而“现代”的系统介绍和处理。此外，

本书还介绍了流形上的热方程理论，并利用热方程方法证明了Hodge 定理和Lefschetz 不动点定理，给出了de Rham-Hodge 算子，Hirzebruch 符号差算子及Dirac 算子的局部指标公式；介绍了Quillen 的超联络理论，并利用该理论给出了Gauss-Bonnet- 陈定理的一个新的证明；还从向量丛上一般联络出发，几何地构造了向量丛的Euler 形式与Thom 形式。

本书旨在向国内的青年学子和数学工作者介绍Atiyah-Singer 指标理论的一些基础知识，展示该理论的基本思想与方法在流形的几何、拓扑与分析中某些问题上的重要应用，可作为数学系研究生的教学参考资料，也可供相关专业科研人员学习使用。

前辅文
第一章 示性类的陈-Weil理论
  1.1 de Rham上同调理论回顾 1
  1.2 超向量丛 3
   1.2.1 超向量空间和超代数 3
   1.2.2 超向量丛 6
   1.2.3 超联络及其曲率 8
  1.3 陈-Weil定理 11
   1.3.1 陈-Weil定理 11
   1.3.2 示性式, 示性类和示性数 13
  1.4 一些例子 15
   1.4.1 陈形式和陈类 15
   1.4.2 实向量丛的Pontrjagin类 16
   1.4.3 Hirzebruch的$L$-类、$\widehatA $-类和$m Td $-类 16
   1.4.4 $K$-群和陈特征 19
   1.4.5 陈-Simons超渡形式 21
  1.5 叶状结构的Bott消灭定理 22
   1.5.1 叶状结构与Bott消灭定理 22
   1.5.2 绝热极限与Bott联络 25
  1.6 奇数维陈-Weil理论 26
第二章 Bott~公式与~Duistermaat-Heckman~公式
  2.1 Berline-Vergne 局部化公式 31
  2.2 Bott 留数公式 36
  2.3 Duistermaat-Heckman公式 38
  2.4 Bott的原始想法 39
第三章 Gauss-Bonnet-陈定理
  3.1 一个初等模型及 Berezin 积分 41
  3.2 Mathai-Quillen 的 Thom 形式 43
  3.3 超渡公式 45
  3.4 Euler 形式与 Euler 类 46
  3.5 Gauss-Bonnet-陈定理的证明 47
  3.6 一些注记 49
  3.7 陈省身的原始证明 50
  3.8 再论 Gauss-Bonnet-陈定理 52
   3.8.1 Clifford 作用 52
   3.8.2 Gauss-Bonnet-陈定理的又一证明 57
   3.8.3 Euler 类的又一陈-Weil 表示 61
   3.8.4 Thom形式的又一陈-Weil表示 65
第四章 Poincar\'e -Hopf指标公式:解析证明
  4.1 Hodge定理回顾 69
  4.2 Weitzenb\"o ck公式 72
  4.3 Poincar\'e -Hopf 指标公式和 Witten 形变 77
  4.4 在$\cup _p\in m zero (V) U_p$外部的一个估计 78
  4.5 Euclid 空间上的调和振子 79
  4.6 Poincar\'e -Hopf指标公式的证明 82
  4.7 $D_T,i $ 的一些估计, $2\leqslant i\leqslant 4$ 83
  4.8 特殊情形的另一个解析证明 86
第五章 Morse不等式:解析证明
  5.1 Morse不等式回顾 89
  5.2 Witten形变 90
  5.3 $(\Omega ^*(M),d_Tf )$的Hodge定理 92
  5.4 $\Box _Tf $在$f$的临界点附近的行为 92
  5.5 Morse不等式的证明 94
  5.6 性质5.3 \hbox 的证明 96
  5.7 一些注记与评论 102
第六章 Thom-Smale与Witten复形
  6.1 Thom-Smale复形 105
  6.2 Thom-Smale复形的de Rham映射 107
  6.3 Witten瞬子复形与映射$e_T$ 109
  6.4 映射$P_\infty ,T e_T$ 111
  6.5 定理6.2 \hbox 的一个解析证明 113
第七章 关于Kervaire半示性数的Atiyah定理
  7.1 Kervaire半示性数 116
  7.2 Atiyah的原始证明 117
  7.3 由Witten形变给出的证明 118
  7.4 $k(M)$ 的一个泛计数公式 121
  7.5 $k(M)$的不可乘性 122
第八章 Hodge定理的热方程证明
  8.1 Laplace算子的热核及其基本性质 125
  8.2 热核存在性定理8.1 \hbox 的证明 139
   8.2.1 Levi迭代程式 139
   8.2.2 M-P拟基本解及热核的存在性 142
   8.2.3 引理 8.2 \hbox 、引理 8.3 \hbox 及引理 8.4 \hbox 的证明 150
第九章 Gauss-Bonnet-陈定理:热核方法的证明
  9.1 Mckean-Singer 猜测 157
  9.2 de Rham-Hodge算子局部指标公式的证明 160
第十章 Hirzebruch符号差指标定理:热核方法的证明
  10.1 流形的符号差的解析解释 163
  10.2 Hirzebruch符号差算子的局部指标公式 167
  10.3 Hirzebruch符号差算子局部指标公式的证明 169
第十一章 Dirac算子及其局部指标定理
  11.1 Clifford代数和Spin群 177
  11.2 自旋流形与Dirac算子 183
  11.3 Lichnerowicz公式及其应用 196
  11.4 Dirac算子的局部指标定理 200
第十二章 Lefschetz不动点定理
  12.1 Lefschetz数 207
  12.2 定理12.1 \hbox 的热核证明 210
  12.3 Atiyah-Bott不动点定理 213
  12.4 Atiyah-Bott不动点定理的一个应用: Riemann-Roch-Hirzebruch定理 217
   12.4.1 Riemann-Roch-Hirzebruch定理 217
   12.4.2 Bott全纯留数定理 219
附录A 法坐标系
附录B Mehler公式
参考文献
索引