本书基于非数学专业研究生“数值分析”课程的教学要求和实际应用的计算需求, 介绍了科学计算所需的基本、常用的算法及其概念和原理。全书共分八章: 绪论、插值法、函数逼近与快速傅里叶变换、数值积分与数值微分、线性方程组的数值解法、矩阵特征值问题的求解、非线性方程的数值解法和常微分方程的数值解法。
本书可作为高等学校和科研院所非数学专业研究生“数值分析”课程的教材或教学参考书, 也可供相关科技人员参考。
前辅文 第一章 绪论 §1.1 数值分析课程特点及基本内容 1.1.1 课程特点 1.1.2 基本内容 §1.2 误差理论 1.2.1 误差的来源与分类 1.2.2 误差的定义 1.2.3 有效数字 1.2.4 函数计算的误差估计 §1.3 数值算法的设计原则 1.3.1 算法的数值稳定性 1.3.2 问题的病态性估计 1.3.3 避免误差危害的基本原则 §1.4 数值算法的编程实现 第一章习题 第一章习题答案与提示 第二章 插值法 §2.1 引言 2.1.1 问题的提出 2.1.2 多项式插值 §2.2 拉格朗日插值 2.2.1 线性插值与抛物线插值 2.2.2 拉格朗日插值多项式 2.2.3 插值余项与误差估计 §2.3 差商与牛顿插值 2.3.1 差商的定义及其性质 2.3.2 牛顿插值多项式 2.3.3 差分与等距节点的牛顿插值 §2.4 埃尔米特插值 2.4.1 两点三次埃尔米特插值多项式 2.4.2 一般埃尔米特插值多项式 2.4.3 重节点差商法求埃尔米特插值多项式 §2.5 分段低次插值 2.5.1 高次插值的病态性质 2.5.2 分段线性插值 2.5.3 分段三次埃尔米特插值 §2.6 三次样条插值 2.6.1 三次样条插值函数的概念 2.6.2 样条插值函数的建立 2.6.3 误差界与收敛性 第二章习题 第二章习题答案与提示 第三章 函数逼近与快速傅里叶变换 §3.1 函数逼近的基本概念 3.1.1 函数逼近问题 3.1.2 函数空间与赋范线性空间 3.1.3 最佳逼近数学模型 §3.2 正交多项式理论 3.2.1 正交函数族与正交多项式 3.2.2 勒让德多项式 3.2.3 切比雪夫多项式 §3.3 最佳平方逼近 3.3.1 一般概念及方法 3.3.2 用正交函数族作最佳平方逼近 §3.4 曲线拟合的最小二乘法 3.4.1 最小二乘法及其计算 3.4.2 用正交多项式作曲线拟合 §3.5 有理逼近 3.5.1 有理逼近与连分式 3.5.2 帕德逼近 §3.6 最佳平方三角多项式逼近与快速傅里叶变换 3.6.1 最佳平方三角逼近与三角插值 3.6.2 离散傅里叶变换(DFT) 3.6.3 快速傅里叶变换(FFT) 第三章习题 第三章习题答案与提示 第四章 数值积分与数值微分 §4.1 引言 §4.2 数值积分的一般概念 4.2.1 数值积分的基本思想 4.2.2 代数精度的概念 4.2.3 插值型求积公式 §4.3 牛顿—科茨求积公式 4.3.1 牛顿—科茨求积公式的推导 4.3.2 牛顿—科茨求积公式的误差分析 4.3.3 求积公式的稳定性与收敛性 §4.4 复化求积公式 4.4.1 复化梯形公式 4.4.2 复化辛普森公式 4.4.3 复化求积公式的收敛阶 §4.5 实用求积算法 4.5.1 自动步长求积方法 4.5.2 自适应步长求积方法 §4.6 理查森外推算法 4.6.1 理查森外推算法 4.6.2 欧拉—麦克劳林公式 4.6.3 龙贝格算法 §4.7 高斯型求积公式 4.7.1 一般理论 4.7.2 高斯—勒让德求积公式 §4.8 特殊积分的数值计算方法 4.8.1 奇异积分的数值计算方法 4.8.2 振荡函数的数值积分 §4.9 数值微分 4.9.1 差商近似法 4.9.2 插值多项式法 第四章习题 第四章习题答案与提示 第五章 线性方程组的数值解法 §5.1 引言 5.1.1 问题的提出 5.1.2 问题的求解 §5.2 直接法 5.2.1 高斯消元法 5.2.2 选主元法 5.2.3 平方根法 5.2.4 QR分解求线性方程组 §5.3 迭代法 5.3.1 经典迭代法 5.3.2 最速下降法 5.3.3 共轭梯度法 5.3.4 预条件共轭梯度法 5.3.5 正规化方法 5.3.6 GMRES方法 第五章习题 第五章习题答案与提示 第六章 矩阵特征值问题的求解 §6.1 引言 6.1.1 问题的提出 6.1.2 问题的求解 §6.2 乘幂法和反幂法 6.2.1 乘幂法 6.2.2 加速法 6.2.3 反幂法 §6.3 QR方法 6.3.1 基本QR方法 6.3.2 黑森伯格化 6.3.3 原点平移QR方法 §6.4 子空间迭代法 §6.5 雅可比方法 第六章习题 第六章习题答案与提示 第七章 非线性方程的数值解法 §7.1 基本概念 7.1.1 收敛阶 7.1.2 停机准则 §7.2 二分法 §7.3 基于插值多项式的算法 7.3.1 弦割法 7.3.2 抛物线法 §7.4 牛顿法 7.4.1 牛顿法的基本形式 7.4.2 牛顿法应用举例 7.4.3 重根情形 7.4.4 牛顿下山法 §7.5 简单迭代法 7.5.1 简单迭代法的收敛性 7.5.2 牛顿法的收敛性 §7.6 迭代法的加速 7.6.1 艾特肯加速算法 7.6.2 斯特芬森加速算法 §7.7 多项式方程求根 7.7.1 秦九韶算法 7.7.2 牛顿—秦九韶算法 §7.8 非线性方程组的迭代法 7.8.1 非线性方程组 7.8.2 简单迭代法 7.8.3 牛顿法及其变形 第七章习题 第七章习题答案与提示 第八章 常微分方程的数值解法 §8.1 引言 §8.2 简单的数值方法 8.2.1 欧拉法、隐式欧拉法及梯形法 8.2.2 改进的欧拉法 8.2.3 单步法的误差阶 §8.3 龙格—库塔法 8.3.1 龙格—库塔法的构造原理 8.3.2 二阶显式龙格—库塔法 8.3.3 三阶与四阶龙格—库塔法 §8.4 线性多步法 8.4.1 基于数值积分的方法 8.4.2 基于泰勒展开的方法 8.4.3 预估—校正算法 8.4.4 计算截断误差阶的通用方法 §8.5 单步法的稳定性和收敛性 8.5.1 方法的收敛性 8.5.2 稳定性和稳定区域 §8.6 刚性问题及其求解 8.6.1 一阶方程组和高阶方程 8.6.2 刚性问题 第八章习题 第八章习题答案与提示 参考文献 索引
