前辅文
第一章 集合论初步
§1 集的概念.集上的运算
1 基本定义
2 集上的运算
§2 映射.分类
1 集的映射.函数的一般概念
2 分类.等价关系
§3 集的对等性.集的势的概念
1 有限集与无限集
2 可数集
3 集的对等性
4 实数集的不可数性
5 康托尔-伯恩斯坦(Cantor-Bernstein)定理
§4 有序集.超限数
1 偏序集
2 保序映射
3 序型.有序集
4 有序集的有序和
5 良序集.超限数
6 序数的比较
7 选择公理.策梅洛定理及与其等价的其他命题
8 超限归纳法
§5 集族
1 集环
2 集半环
3 半环生成的环
4 σ代数
5 集族与映射
第二章 度量空间与拓扑空间
§1 度量空间的概念
1 定义与基本例子
2 度量空间的连续映射.等距
§2 收敛性.开集与闭集
1 极限点.闭包
2 收敛性
3 稠密子集
4 开集与闭集
5 直线上的开集与闭集
§3 完备度量空间
1 完备度量空间的定义与例子
2 球套定理
3 贝尔(Baire)定理
4 空间的完备化
§4 压缩映射原理及其应用
1 压缩映射原理
2 压缩映射原理最简单的一些应用
3 微分方程的存在性与唯一性定理
4 压缩映射原理应用于积分方程
§5 拓扑空间
1 拓扑空间的定义与例子
2 拓扑的比较
3 确定邻域族.基.可数性公理
4 T中的收敛序列
5 连续映射.同胚
6 分离性公理
7 在空间中给定拓扑的不同方法.可度量性
§6 紧性
1 紧性概念
2 紧空间的连续映射
3 在紧空间上的连续函数与半连续函数
4 可数紧性
5 准紧集
§7 度量空间的紧性
1 完全有界性
2 紧性与完全有界性
3 度量空间中的准紧子集
4 阿尔采拉(Arzelà)定理
5 佩亚诺(Peano)定理
6 一致连续性.度量紧统的连续映射
7 拓广的阿尔采拉定理
§8 度量空间中的连续曲线
第三章 赋范线性空间与线性拓扑空间
§1 线性空间
1 线性空间的定义及例子
2 线性相关性
3 子空间
4 商空间
5 线性泛函
6 线性泛函的几何意义
§2 凸集与凸泛函.哈恩-巴拿赫(Hahn-Banach)定理
1 凸集与凸体
2 齐次凸泛函
3 闵可夫斯基泛函
4 哈恩-巴拿赫定理
5 线性空间中凸集的可分离性
§3 赋范空间
1 赋范空间的定义与例子
2 赋范空间的子空间
3 赋范空间的商空间
§4 欧几里得空间
1 欧几里得空间的定义
2 例子
3 正交基的存在性,正交化
4 贝塞尔(Bessel)不等式.封闭正交系
5 完备的欧几里得空间.里斯-费希尔(Riesz-Fisher)定理
6 希尔伯特空间.同构定理
7 子空间.正交补.直和
8 欧几里得空间的特性
9 复欧几里得空间
§5 线性拓扑空间
1 定义与例子
2 局部凸性
3 可数赋范空间
第四章 线性泛函与线性算子
§1 线性连续泛函
1 线性拓扑空间中的线性连续泛函
2 赋范空间上的线性泛函
3 赋范空间中的哈恩-巴拿赫定理
4 在可数赋范空间中的线性泛函
§2 共轭空间
1 共轭空间的定义
2 共轭空间中的强拓扑
3 共轭空间的例子
4.二次共轭空间
§3 弱拓扑与弱收敛
1 在线性拓扑空间中的弱拓扑与弱收敛
2 赋范空间中的弱收敛
3 共轭空间中的弱拓扑与弱收敛
4 共轭空间中的有界集
§4 广义函数
1 函数概念的推广
2 基本函数空间
3 广义函数
4 广义函数的运算
5 基本函数范围的充足性
6 按导数求函数.广义函数类中的微分方程
7 某些推广
§5 线性算子
1 线性算子的定义与例
2 连续性与有界性
3 算子的和与积
4 逆算子,可逆性
5 共轭算子
6 欧几里得空间中的共轭算子.自共轭算子
7 算子的谱.预解式
§6 紧算子
1 紧算子的定义与例
2 紧算子的基本性质
3 紧算子的特征值
4 希尔伯特空间中的紧算子
5 H中的自共轭紧算子
第五章 测度,可测函数,积分
§1 平面集的测度
1 初等集的测度
2 平面集的勒贝格(Lebesgue)测度
3 若干补充与推广
§2 一般测度概念.测度从半环到环上的扩张.加性和σ加性
1 测度的定义
2 从半环到其所生成的环的测度扩张
3 σ加性
§3 测度的勒贝格扩张
1 给定在一个含有单位集的半环上的测度的勒贝格扩张
2 给定在不含单位集的半环上的测度扩张
3 在σ有限测度的情形下可测性概念的扩充
4 按约当(Jordan)意义的测度扩张
5 测度扩张的单值性
§4 可测函数
1 可测函数的定义及其基本性质
2 可测函数的运算
3 等价性
4 几乎处处收敛性
5 叶果洛夫(Егоров)定理
6 按测度收敛
7 鲁金(Лузин)定理.C性质
§5 勒贝格积分
1 简单函数
2 简单函数的勒贝格积分
3 具有有限测度的集上的勒贝格积分的一般定义
4 σ加性和勒贝格积分的绝对连续性
5 勒贝格积分号下取极限
6 无穷测度集上的勒贝格积分
7 勒贝格积分同黎曼积分之比较
§6 集族及其测度的直积.富比尼(Fubini)定理
1 集族的乘积
2 测度积
3 用截线的线性测度之积分表示平面测度
之表达式.勒贝格积分的几何意义
4 富比尼定理
第六章 勒贝格不定积分.微分论
§1 单调函数.积分对上限的可微性
1 单调函数的基本性质
2 单调函数的可微性
3 积分对上限求导数
§2 有界变差函数
§3 勒贝格不定积分的导数
§4 用函数的导数求原函数.绝对连续函数
§5 作为集函数的勒贝格积分.拉东-尼柯迪姆(Radon-Nikodým)定理
1 荷•哈恩分解和约当分解
2 荷的基本类型
3 绝对连续荷.拉东-尼柯迪姆定理
§6 斯蒂尔切斯(Stieltjes)积分
1 斯蒂尔切斯测度
2 勒贝格-斯蒂尔切斯积分
3 勒贝格-斯蒂尔
切斯积分在概率论中的某些应用
4 黎曼-斯蒂尔切斯(Riemann -Stieltjes)积分
5 斯蒂尔切斯积分号下取极限
6 连续函数空间中线性连续泛函的一般形式
第七章 可积函数空间
§1 空间L1
1 空间L1的定义与基本性质
2 L1中处处稠密的集合
§2 空间L2
1 定义与基本性质
2 无穷测度的情形
3 在L2中处处稠密的集合.同构定理
4 复空间L2
5 均方收敛及它与其他类型的泛函序列收敛性的联系
§3 L2中的正交函数系.按正交系展开的级数
1 三角函数系.傅里叶三角级数
2 在闭区间[0,π]上的三角函数系
3 复形式的傅里叶级数
4 勒让德(Legendre)多项式
5 乘积正交系.多重傅里叶级数
6 关于给定权正交的多项式
7 空间L2(-∞,∞)与L2(0,∞)中的正交基
8 关于离散权的正交多项式
9 哈尔(Haar)系与拉德马赫-沃尔什(Rademacher-Walsh)系
第八章 三角级数.傅里叶变换
§1 傅里叶级数收敛的条件
1 傅里叶级数在一点收敛的充分条件
2 傅里叶级数一致收敛的条件
§2 费耶(Fejér)定理
1 费耶定理
2 三角函数系的完备性.魏斯特拉斯定理
3 空间L1中的费耶定理
§3 傅里叶积分
1 基本定理
2 复形式的傅里叶积分
§4 傅里叶变换,它的性质与应用
1 傅里叶变换与反演公式
2 傅里叶变换的基本性质
3 埃尔米特函数与拉盖尔函数的完备性
4 快速下降无穷次可微函数的傅里叶变换
5 傅里叶变换与函数的卷积
6 用傅里叶变换解热传导方程
7 多元函数的傅里叶变换
§5 空间L2(-∞,∞)中的傅里叶变换
1 布兰舍列尔(Planchler)定理
2 埃尔米特函数
§6 拉普拉斯(Laplace)变换
1 拉普拉斯变换的定义与基本性质
2 拉普拉斯变换对解微分方程的应用(算子法)
§7 傅里叶-斯蒂尔切斯变换
1 傅里叶-斯蒂尔切斯变换的定义
2 傅里叶-斯蒂尔切斯变换在概率论中的应用
§8 广义函数的傅里叶变换
第九章 线性积分方程
§1 基本定义.导致积分方程的某些问题
1 积分方程的类型
2 导致积分方程的问题的一些例子
§2 弗雷德霍姆积分方程
1 弗雷德霍姆积分算子
2 含对称核的方程
3 弗雷德霍姆定理.退化核情形
4 含任意核的方程的弗雷德霍姆定理
5 沃尔泰拉方程
6 第一类积分方程
§3 含参数的积分方程.弗雷德霍姆法
1 H里紧算子的谱
2 以λ的幂级数形式求解.弗雷德霍姆行列式
第十章 线性空间微分学概要
§1 线性空间中的微分法
1 强微分(弗雷歇(Fréchet)微分)
2 弱微分(伽托(Gâteaux)微分)
3 有限增量公式
4 弱可微性与强可微性之间的关系
5 可微分泛函
6 抽象函数
7 积分
8 高阶导数
9 高阶微分
10 泰勒(Taylor)公式
§2 隐函数定理及其某些应用
1 隐函数定理
2 微分方程解对初始数据的依赖性定理
3 切流形.刘斯切尔尼克(Люстерник)定理
§3 极值问题
1 极值的必要条件
2 二阶微分.泛函极值的充分条件
3 有约束的极值问题
§4 牛顿(Newton)法
附录 巴拿赫代数(В.М.季霍米洛夫)
§1 巴拿赫代数的定义与一些例子
1 巴拿赫代数,巴拿赫代数的同构
2 巴拿赫代数的一些例子
3 极大理想
§2 谱和预解式
1 定义与例子
2 谱的性质
3 谱半径定理
§3 几个辅助结果
1 商代数定理
2 三个引理
§4 基本定理
1 线性连续可乘泛函与极大理想
2 集M中的拓扑.基本定理
3 维纳(Wiener)定理;习题
文献
各章的有关文献
索引
译者后记
