内容提要
前言
引论 从初等数学向微积分的过渡
1 微积分简史
2 微积分的主要研究对象举例
3 小结——与初等数学的比较
第一章 变量与函数
1 绝对值
2 函数的定义
3 复合函数
4 反函数
5 初等函数
6 非初等函数
第二章 数列极限
1 数列极限的定义和基本性质
2 夹挤定理及应用举例
3 与实数理论有关的几个基本定理
4 上下极限
5 Cauchy 收敛准则
6 子数列
第三章 函数极限
1 函数极限的定义与性质
2 函数极限的判定
第四章 函数的连续性
1 函数连续性的定义
2 函数的连续性与四则和复合运算
3 闭区间上连续函数的性质
4 初等函数的连续性
第五章 导数与微分
1 导数的定义及几何与物理背景
2 导数的运算法则
3 无穷小量与无穷大量
4 微分
5 高阶导数与高阶微分
第六章 中值定理与 Taylor 公式
1 微分中值定理
2 L'Hospital 法则
3 Taylor 公式
第七章 微分学的应用
1 导数定义的应用
2 函数性质研究与作图
3 解方程的 Newton 法
4 曲线的曲率与密切圆*
第八章 不定积分
1 不定积分的概念与线性性质
2 换元积分法
3 分部积分法
4 有理函数的积分及其相关积分
第九章 定积分
1 定积分的概念
2 可积性条件
3 定积分的基本性质
4 微积分学基本定理
5 定积分的计算
6 积分中值定理
第十章 定积分的应用
1 微元法
2 定积分在几何上的应用
3 定积分在物理上的应用
第十一章 数项级数
1 级数的概念与基本性质
2 正项级数
3 变号级数
4 级数的代数运算
第十二章 广义积分
1 无穷积分的定义
2 无穷积分敛散性的判定
3 概率积分
4 瑕积分
第十三章 函数项级数
1 一致收敛性的概念及判别法
2 函数项级数的和函数的性质
3 幂级数
4 连续函数表示为多项式序列的一致极限
第十四章 Fourier 级数
1 简谐振动及其叠加
2 若干预备知识
3 Fourier 系数
4 收敛性定理
5 正弦展开和余弦展开
6 Fourier 级数的一致收敛性
7 逐项积分与逐项微分
第十五章 多元函数的极限与连续性
1 引言
2 多元函数
3 多元函数的极限
4 平面点集
5 多元连续函数的基本性质
第十六章 偏导数与全微分
1 偏导数
2 中值定理与链锁规则
3 全微分
4 空间曲线的切线、曲面的切平面与法线
5 方向导数与弱微分
6 梯度
第十七章 多元函数的极值和高阶偏导数
1 多元函数的极值
2 高阶偏导数
3 多元 Taylor 公式
第十八章 重积分
1 二重积分的定义与基本性质
2 化二重积分为累次积分
3 二重积分的变量替换
4 曲面的面积
5 三重积分
6 n 重积分*
第十九章 第一型曲线积分与第一型曲面积分
1 第一型曲线积分
2 第一型曲面积分
第二十章 第二型曲线积分与第二型曲面积分
1 第二型曲线积分的定义和计算
2 Green 公式
3 保守场和原函数
4 第二型曲面积分的定义和计算
5 Gauss 公式散度
6 Stokes 公式旋度
7 关于场的进一步讨论
8 曲线坐标下梯度、散度和旋度的公式
第二十一章 含参变量的积分
1 引言
2 有穷限的带参变量积分
3 无穷限的带参变量积分
4 Euler 积分
5 Fourier 变换
6 大参数积分的渐进估值*
